本福特定律計算器

機率（小數）	0.30103
樣本中的預期出現次數	301.03

什麼是本福特定律？

本福特定律（又稱首位數字定律，first-digit law）描述了一個令人意外的現象：在許多真實世界的資料集中，例如財務數字、人口統計、物理常數等，首位數字的分布並非均勻。一般人可能以為 1 到 9 各個數字出現的機率應該相等（各約 11.1%），但實際上較小的數字明顯佔多數——數字 1 出現在首位的機率高達約 30.1%，而數字 9 卻只有約 4.6%。本計算器能為您算出任一首位數字的精確本福特機率。

首位數字從 1 到 9 機率遞減的長條圖 — 本福特定律：首位數字 1 出現的機率約為 30%，頻率隨數字增大到 9 而遞減。

如何使用本計算器

先從 1 到 9 之間選擇一個首位數字。您也可以選擇性地輸入樣本數（即資料集中的數值總數），以了解若資料符合本福特定律，預期會有多少筆資料以該數字開頭。本工具會同時輸出百分比與小數兩種形式的機率，以及預期出現的次數。

公式解析

首位數字 $d$ 出現的機率為 $$P(d) = \log_{10}\!\left(1 + \frac{1}{d}\right)$$ 由於對數函數增長緩慢，相鄰數字之間的差距會逐漸縮小，因而形成這條特有的、向下遞減的分布曲線。在樣本數為 $N$ 的資料集中，預期出現次數即為 $$E(d) = N \times P(d)$$

將首位數字與機率聯繫起來的對數公式示意圖 — 每個數字的機率等於它在對數刻度上所佔區間的寬度。

實例演算

以數字 1 為例：$$P(1) = \log_{10}\!\left(1 + \frac{1}{1}\right) = \log_{10}(2) \approx 0.30103$$ 約等於 30.1%。在一個含有 1,000 筆數值的資料集中，預期會有約 301 筆以數字 1 開頭。再以數字 9 為例：$$P(9) = \log_{10}\!\left(1 + \frac{1}{9}\right) = \log_{10}\!\left(\frac{10}{9}\right) \approx 0.0458$$ 約等於 4.58%——也就是說，1,000 筆中大約只有 46 筆會以 9 開頭。

解釋您的結果

該計算器為選定的首位數字 $d$ 返回兩個數字：本福德概率 $P(d)=\log_{10}\!\left(1+\frac{1}{d}\right)$ 和樣本大小為 $N$ 的預期計數 $E = N \times P(d)$。例如，當 $d=1$ 時，概率約為 0.30103，因此在一個包含 $N=1000$ 個值的數據集中，您預計大約 301 個數字以數字 1 開頭。

符合與偏差

當首位數字的觀察計數接近預期計數 $E$ 時，該數據據說是符合本福德定律的。當觀察計數在數字 1–9 中明顯偏離 $E$ 時——例如，以 7、8 或 9 開頭的值過多，或者分佈近似均勻而不是陡峭的 $P(1) > P(2) > \dots > P(9)$ 下降——據說該數據集偏離預期分佈。單個數字輕微偏離通常無關緊要；多個數字上的系統性模式更有意義。

擬合優度檢驗的作用

僅用肉眼觀察觀察計數和預期計數之間的差距是不夠的，因為某些差異總是會因機遇而出現。形式上的擬合優度檢驗——最常見的是卡方檢驗——量化整體模式有多令人驚訝。卡方統計量對所有九個數字的標準化平方差進行求和：

$$\chi^2 = \sum_{d=1}^{9} \frac{(O_d - E_d)^2}{E_d}$$

其中 $O_d$ 是觀察計數，$E_d = N \times P(d)$ 是數字 $d$ 的本福德預期計數。將所得統計量與 8 個自由度的卡方分佈（九個數字減一，因為計數必須求和為 $N$）進行比較，以獲得 p 值。較小的 p 值表示如果數據確實遵循本福德定律，觀察到的首位數字分佈不太可能出現。相關措施如平均絕對偏差 (MAD) 也用於衡量符合度。

偏差是一個標誌，不是證明

從本福德定律的統計上顯著偏離只表示首位數字模式異常，可能值得進一步審查。它本身不是錯誤、操縱或欺詐的證據。許多普通的、完全合法的過程會產生非本福德分佈，相反，數據可以被偽造，但仍然符合。將偏差視為提示，以更仔細地查看數據的生成方式，而不是作為結論。

數據集大小和範圍需要注意的事項

本福德定律是一個漸近的、近似的模式，預期計數 $E_d$ 只有在適當的條件下才有意義：

樣本大小。在小樣本中，較高數字的預期計數變得很小，自然的抽樣變異很大，卡方近似會退化；來自幾十個值的結果是不可靠的。
範圍和分佈。該定律適用於跨越多個數量級且源於乘法或自然變異過程的數據。局限於狹隘範圍、指定值（郵編、電話號碼、ID）、有上限或四捨五入的數字或具有施加的最小值和最大值的序列不一定遵循本福德定律，即使沒有任何問題。
首位數字僅。此計算器涉及第一位數字定律；前兩位數字和其他擴展測試有其自己的預期概率，通常更敏感。

由於這些需要注意的事項，應始終根據數字代表的內容以及您擁有的數字數量來解釋符合或不符合。