什么是黎曼ζ函数？
黎曼ζ函数是数论与分析学中最重要的对象之一。当实数自变量 \(x\) 大于 1 时，它由收敛级数 \(\zeta(x) = 1 + 1/2^x + 1/3^x + 1/4^x + \dots\) 定义，也就是把每个正整数的 \(x\) 次幂取倒数后再相加。通过解析延拓，它可以被推广到几乎所有的实数（以及复数）取值，唯一的例外是 \(x = 1\)：此处它存在一个简单极点，函数值发散到无穷大。本工具用于计算任意「实数」\(x\) 处的 \(\zeta(x)\)，不接受复数输入。
如何使用本计算器
输入实数 \(x\)，并选择希望显示的位数即可。计算器会分别返回 \(\zeta(x)\) 与 \(\zeta(x)-1\)。后者是级数的「尾部」，即 \(\zeta(x)-1 = 1/2^x + 1/3^x + \dots\)。当 \(x\) 较大时这一数值尤其有用——此时 \(\zeta(x)\) 已经非常接近 1，四舍五入后直接显示为「1」，真正有意义的信息全部藏在这部分余项之中。
公式详解
当 \(x > 1\) 时，我们用 Euler-Maclaurin 加速法对级数求和：先取少量显式项，再加上一个平滑的修正项，便能迅速得到许多位正确数字。其求和级数为
$$\zeta\!\left(x\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}, \qquad x > 1$$当 \(x < 1\) 时，则改用函数方程
$$\zeta\!\left(x\right) = 2^{x}\,\pi^{x-1}\,\sin\!\left(\frac{\pi\,x}{2}\right)\,\Gamma\!\left(1-x\right)\,\zeta\!\left(1-x\right)$$由于此时 \(1-x > 1\)，右端的 \(\zeta\) 值依然可由同一个级数算出。其中的正弦因子会自动给出所谓的「平凡零点」\(\zeta(-2) = \zeta(-4) = \dots = 0\)。
实例演示
取 \(x = 2\)（著名的巴塞尔问题），级数之和等于 \(\pi^2/6 = 1.6449340668\dots\)，因此 \(\zeta(2)-1 = 0.6449340668\dots\)。对于默认值 \(x = 7\)，\(\zeta(7) = 1.0083492773\dots\)，这意味着从 \(n = 2\) 起的整个尾部仅贡献约 \(0.00835\)。再看 \(x = -1\)，由函数方程可得那个广为人知的结果 \(\zeta(-1) = -1/12\)。
常见问题
为什么 \(\zeta(1)\) 无定义？此时级数退化为调和级数，是发散的；\(x = 1\) 是一个简单极点，所以计算器返回无穷大。
能输入复数吗？不能。本工具只处理实数 \(x\)。更深层的理论（以及黎曼猜想）则展开于复平面之上。
为什么还要显示 \(\zeta(x)-1\)？当 \(x\) 较大时，普通精度下 \(\zeta(x)\) 会被四舍五入成 1，而 \(\zeta(x)-1\) 能把那个有意义的微小余项保留下来、清晰可见。
