什麼是黎曼ζ函數？
黎曼ζ函數（Riemann zeta function）是數論與分析學中最重要的研究對象之一。當實數參數 x 大於 1 時，它由收斂級數 \(\zeta(x) = 1 + \frac{1}{2^x} + \frac{1}{3^x} + \frac{1}{4^x} + \cdots\) 定義，也就是把每一個正整數的 x 次方取倒數後相加。透過解析延拓（analytic continuation），這個函數可以延伸到幾乎所有實數（與複數）取值，唯一的例外是 x = 1，此處有一個單極點（simple pole），函數值發散至無窮大。本工具可計算任意「實數」x 的 \(\zeta(x)\)，但不接受複數參數。
如何使用本計算機
輸入實數 x，並選擇要顯示的位數。計算機會分別給出 \(\zeta(x)\) 與 \(\zeta(x)-1\) 兩個結果。後者是級數的「尾項」，即 \(\zeta(x)-1 = \frac{1}{2^x} + \frac{1}{3^x} + \cdots\)。當 x 很大時 \(\zeta(x)\) 會非常接近 1，四捨五入後直接顯示為「1」，真正有意義的資訊全藏在這個餘項裡，因此特別實用。
公式說明
當 x > 1 時，我們以 Euler-Maclaurin 加速法計算級數：取少數幾個明確項，再加上一個平滑修正項，就能快速得到許多正確位數。
$$\zeta(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}, \qquad x > 1$$當 x < 1 時，則套用函數方程
$$\zeta(x) = 2^{x}\,\pi^{x-1}\,\sin\!\left(\frac{\pi x}{2}\right)\,\Gamma(1-x)\,\zeta(1-x)$$由於此時 1-x > 1，等號右側的 zeta 可用同一套級數計算。其中的正弦因子會自動產生所謂的「平凡零點」：\(\zeta(-2) = \zeta(-4) = \cdots = 0\)。
實際範例
當 x = 2（著名的巴塞爾問題，Basel problem）時，級數等於 \(\frac{\pi^2}{6} = 1.6449340668\ldots\)，所以 \(\zeta(2)-1 = 0.6449340668\ldots\)。以預設值 x = 7 為例，\(\zeta(7) = 1.0083492773\ldots\)，這表示從 n = 2 開始的整段尾項只貢獻了約 0.00835。而當 x = -1 時，函數方程給出那個赫赫有名的結果：\(\zeta(-1) = -\frac{1}{12}\)。
常見問題
為什麼 \(\zeta(1)\) 沒有定義？ 此時級數變成調和級數（harmonic series），會發散；x = 1 是一個單極點，因此計算機會回傳無窮大。
可以輸入複數嗎？ 不行。本工具只處理實數 x。更深層的理論（以及著名的黎曼猜想）則發生在複數平面上。
為什麼還要顯示 \(\zeta(x)-1\)？ 當 x 很大時，\(\zeta(x)\) 在一般精度下會四捨五入成 1，而 \(\zeta(x)-1\) 能保留那個雖小卻有意義的餘項，讓你看得清清楚楚。
