リーマンのゼータ関数とは
リーマンのゼータ関数は、整数論と解析学において最も重要な関数のひとつです。1 より大きい実数 x に対しては、収束級数 \(\zeta(x) = 1 + 1/2^x + 1/3^x + 1/4^x + \dots\) として定義されます。これは、すべての正の整数を x 乗したものの逆数の総和です。さらに解析接続によって、ほぼすべての実数（および複素数）に対して値が拡張されます。唯一の例外が x = 1 で、ここでは単純極を持ち、無限大に発散します。本ツールは、任意の実数 x について \(\zeta(x)\) を計算します。複素数の引数には対応していません。
計算機の使い方
実数 x を入力し、表示したい桁数を選んでください。\(\zeta(x)\) と、それとは別に \(\zeta(x)-1\) の値が表示されます。後者は級数の「しっぽ（剰余項）」にあたり、\(\zeta(x)-1 = 1/2^x + 1/3^x + \dots\) を表します。これは x が大きいときに便利です。x が大きいと \(\zeta(x)\) は 1 に極めて近づき、丸めた値が単に「1」となってしまい、本当の情報がすべて剰余の部分に隠れてしまうからです。
計算式の解説
x > 1 の場合は、オイラー＝マクローリン展開による加速法で級数を計算します。具体的な項をいくつか足し、それになめらかな補正項を加えることで、多くの正しい桁を素早く再現できます。x < 1 の場合は、関数等式 $$\zeta(x) = 2^x\,\pi^{x-1}\,\sin\!\left(\frac{\pi x}{2}\right)\,\Gamma(1-x)\,\zeta(1-x)$$ を用います。ここでは 1−x > 1 となるため、右辺のゼータ関数は同じ級数で計算できます。なお sin の因子により、自明な零点 \(\zeta(-2) = \zeta(-4) = \dots = 0\) が自動的に得られます。
計算例
x = 2 の場合（有名な「バーゼル問題」）、級数は \(\pi^2/6 = 1.6449340668\dots\) に等しくなり、\(\zeta(2)-1 = 0.6449340668\dots\) となります。初期値の x = 7 では \(\zeta(7) = 1.0083492773\dots\) であり、n = 2 以降の剰余項全体を足してもおよそ 0.00835 しか増えないことがわかります。x = −1 の場合、関数等式から有名な値 \(\zeta(-1) = -1/12\) が得られます。
よくある質問
なぜ \(\zeta(1)\) は定義されないのですか？ このとき級数は調和級数となり発散します。x = 1 は単純極であるため、本計算機は無限大を返します。
複素数を入力できますか？ いいえ。本ツールは実数 x のみを扱います。より深い理論（およびリーマン予想）は複素平面上で展開されます。
なぜ \(\zeta(x)-1\) も表示するのですか？ x が大きいと \(\zeta(x)\) は通常の精度では 1 に丸められてしまいますが、\(\zeta(x)-1\) を見れば意味のある小さな剰余をはっきりと確認できるからです。
