ما هو مقياس العدد المركب؟
يُكتب العدد المركب على الصورة \(a + bi\)، حيث يمثّل \(a\) الجزء الحقيقي و \(b\) الجزء التخيّلي. أما المقياس (ويُسمى أيضًا القيمة المطلقة أو المقدار) فهو المسافة بين نقطة الأصل والنقطة \((a, b)\) في المستوى المركب. تحسب هذه الأداة هذه المسافة، كما تعرض لك سعة العدد (أي الزاوية).
كيفية استخدام الحاسبة
أدخِل الجزء الحقيقي \(a\) والجزء التخيّلي \(b\) للعدد المركب الذي لديك، وستحصل فورًا على قيمة \(|a + bi|\)، بالإضافة إلى مربّعي المكوّنين \(a^2\) و \(b^2\) اللذين يدخلان في الحساب، وعلى السعة معبَّرًا عنها بالراديان والدرجات معًا.
شرح الصيغة
يُعطى المقياس بالعلاقة $$|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$$ وهذا تطبيق مباشر لنظرية فيثاغورس: إذ يشكّل \(a\) و \(b\) ضلعَي القائمة في مثلث قائم الزاوية، ويكون المقياس هو الوتر. وبما أنّ الحدّين مربّعان، فإنّ الناتج لا يكون سالبًا أبدًا. أما السعة فتُحسب باستخدام \(\operatorname{atan2}(b, a)\)، التي تتعامل بدقة مع جميع الأرباع الأربعة.
مثال محلول
لِنأخذ العدد المركب \(3 + 4i\)، فنحسب \(a^2 = 9\) و \(b^2 = 16\). وبجمعهما نحصل على \(25\)، والجذر التربيعي لـ\(25\) هو \(5\). إذًا $$|3 + 4i| = 5$$ أما السعة فهي \(\operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0.9273\) راديان، أي نحو \(53.13\) درجة.
الأعداد المركبة الشائعة ومعاملاتها
معاملات والزوايا للأعداد المركبة المستخدمة بشكل متكرر. الزوايا تستخدم القيمة الرئيسية من \(\operatorname{atan2}(b,a)\)، في النطاق \((-180^\circ, 180^\circ]\).
| \(a+bi\) | المعامل \(|a+bi|\) | الزاوية (بالراديان) | الزاوية (بالدرجات) |
|---|---|---|---|
| \(1+0i\) | 1 | 0 | 0° |
| \(0+1i\) | 1 | \(\pi/2 \approx 1.5708\) | 90° |
| \(1+i\) | \(\sqrt{2} \approx 1.4142\) | \(\pi/4 \approx 0.7854\) | 45° |
| \(3+4i\) | 5 | \(\approx 0.9273\) | \(\approx 53.13°\) |
| \(-1+i\) | \(\sqrt{2} \approx 1.4142\) | \(3\pi/4 \approx 2.3562\) | 135° |
| \(1-i\) | \(\sqrt{2} \approx 1.4142\) | \(-\pi/4 \approx -0.7854\) | −45° |
| \(-1-i\) | \(\sqrt{2} \approx 1.4142\) | \(-3\pi/4 \approx -2.3562\) | −135° |
| \(5+12i\) | 13 | \(\approx 1.1760\) | \(\approx 67.38°\) |
| \(0+0i\) | 0 | 0 (غير محدد) | 0° (غير محدد) |
ملاحظة: زاوية \(0+0i\) غير محددة لأن النقطة تقع في الأصل؛ تعيد معظم التطبيقات 0 بالاتفاقية.
المصطلحات الرئيسية
- العدد المركب
- عدد من الشكل \(a + bi\)، حيث \(a\) و \(b\) أعداد حقيقية و \(i\) هي الوحدة التخيلية التي تحقق \(i^2 = -1\).
- الجزء الحقيقي (a)
- المركبة \(a\) من \(a+bi\) التي تقع على محور الأفقي (الحقيقي) للمستوى المركب.
- الجزء التخيلي (b)
- معامل الوحدة التخيلية الحقيقي \(b\) في \(a+bi\)؛ يقع على المحور الرأسي (التخيلي). لاحظ أن الجزء التخيلي هو العدد \(b\)، وليس \(bi\).
- المعامل / القيمة المطلقة
- المسافة من الأصل إلى النقطة \((a,b)\) في المستوى المركب، مكتوبة \(|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}\). إنها دائماً غير سالبة.
- الزاوية
- الزاوية \(\theta\) بين المحور الحقيقي الموجب والخط من الأصل إلى \((a,b)\)، مقاسة بعكس اتجاه عقارب الساعة. مدمجة مع المعامل تعطي الصيغة القطبية \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\).
- المستوى المركب
- مستوى ثنائي الأبعاد (يُسمى أيضاً مخطط أرجاند) حيث يمثل المحور الأفقي الجزء الحقيقي والمحور الرأسي يمثل الجزء التخيلي، مما يسمح برسم كل عدد مركب كنقطة.
- دالة atan2
- دالة الظل العكسي بمعاملين، \(\operatorname{atan2}(b, a)\)، التي تعيد الزاوية الصحيحة في جميع الأرباع الأربعة (النطاق \((-\pi, \pi]\)). على عكس \(\arctan(b/a)\) البسيطة، تستخدم إشارات كل من \(a\) و \(b\) لوضع الزاوية في الربع الصحيح.
الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن يكون المقياس سالبًا؟ لا. فبما أنه جذر تربيعي لمجموع مربّعين، يكون المقياس دائمًا صفرًا أو قيمة موجبة.
ماذا لو كان كلٌّ من \(a\) و \(b\) يساوي صفرًا؟ عندئذٍ يكون المقياس \(0\)، وتُؤخذ السعة اصطلاحًا مساوية للصفر.
ما الفرق بين المقياس والسعة؟ المقياس هو مدى بُعد العدد عن نقطة الأصل، بينما السعة هي الاتجاه (الزاوية) المقاس من المحور الحقيقي الموجب.
