ما هي حاسبة طول القوس من الدرجات؟
تتيح لك هذه الحاسبة إيجاد طول القوس الدائري عندما تعرف نصف قطر الدائرة والزاوية المركزية مقيسة بالدرجات. والقوس ليس سوى جزء من محيط الدائرة، ويتناسب طوله مع الكسر الذي تشغله الزاوية من الدورة الكاملة البالغة 360°.
كيفية استخدامها
أدخل نصف القطر (\(r\)) بأي وحدة تشاء — سنتيمترات أو أمتار أو بوصات أو غيرها. ثم أدخل الزاوية المركزية بالدرجات (من 0 إلى 360). ستعيد لك الحاسبة طول القوس بالوحدة نفسها التي استخدمتها لنصف القطر، إلى جانب الزاوية محوّلة إلى الراديان والمحيط الكامل للدائرة كقيمة مرجعية.
شرح المعادلة
المحيط الكامل للدائرة يساوي \(2\pi r\). والزاوية المركزية البالغة \(\theta\) درجة تغطي \(\theta/360\) من الدائرة الكاملة، ومن ثمّ يكون طول القوس:
$$L = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r$$
وبما أن الدائرة الكاملة تساوي 360°، فإن قسمة زاويتك على 360 تعطيك الكسر الذي يمثله القوس من المحيط.
مثال محلول
لنفترض أن \(r = 10\) وأن الزاوية المركزية تساوي 90° (أي ربع دائرة). عندئذٍ يكون $$L = \frac{90}{360} \times 2\pi \times 10 = 0.25 \times 62.8319 = 15.708 \text{ وحدة}.$$ أما الزاوية بالراديان فهي \(90 \times \pi/180 = 1.5708\)، والمحيط الكامل يساوي \(62.832\).
أطوال الأقواس الشائعة حسب الزاوية
يستخدم الجدول أدناه دائرة وحدة (نصف قطر \(r=1\)). يتم حساب طول القوس بـ \(L=\dfrac{\theta}{360}\times 2\pi r\). لأي نصف قطر آخر، ببساطة اضرب عمود "كمضاعف لـ r" في نصف قطرك.
| الزاوية (درجات) | الراديان | طول القوس (مضاعف لـ r) | طول القوس (عدد عشري، r=1) | جزء من الدائرة |
|---|---|---|---|---|
| 30° | \(\pi/6\) | \(\tfrac{\pi}{6}\,r\) | 0.5236 | 1/12 |
| 45° | \(\pi/4\) | \(\tfrac{\pi}{4}\,r\) | 0.7854 | 1/8 |
| 60° | \(\pi/3\) | \(\tfrac{\pi}{3}\,r\) | 1.0472 | 1/6 |
| 90° | \(\pi/2\) | \(\tfrac{\pi}{2}\,r\) | 1.5708 | 1/4 |
| 120° | \(2\pi/3\) | \(\tfrac{2\pi}{3}\,r\) | 2.0944 | 1/3 |
| 180° | \(\pi\) | \(\pi\,r\) | 3.1416 | 1/2 |
| 270° | \(3\pi/2\) | \(\tfrac{3\pi}{2}\,r\) | 4.7124 | 3/4 |
| 360° | \(2\pi\) | \(2\pi\,r\) | 6.2832 | 1 (الدائرة الكاملة) |
المصطلحات الأساسية
- القوس — جزء متصل من حافة الدائرة (محيط الدائرة). طوله \(L\) هو ما تجده هذه الآلة الحاسبة من نصف القطر والزاوية المركزية.
- الزاوية المركزية (θ) — الزاوية، المقاسة بالدرجات هنا، والمتكونة في مركز الدائرة بواسطة نصفي القطر اللذين يحدان القوس. زاوية θ أكبر تمسح قوساً أطول؛ عند 360° يصبح القوس محيط الدائرة كاملاً.
- نصف القطر (r) — المسافة من المركز إلى أي نقطة على الدائرة. طول القوس يتناسب طردياً مع \(r\): اضعف نصف القطر وسيتضاعف طول القوس للزاوية ذاتها.
- الراديان — الزاوية التي تحصر قوساً يساوي طوله نصف القطر. لأن \(360^\circ = 2\pi\) راديان، فإن التحويل إلى راديان يعطي الصيغة المختصرة \(L = r\theta_{\text{rad}}\).
- محيط الدائرة — طول قوس الدائرة الكاملة، \(C = 2\pi r\). كل طول قوس هو كسر \(\theta/360\) من هذه القيمة.
- الوتر — الخط المستقيم الذي يربط النقطتين الطرفيتين للقوس. هو دائماً أقصر من القوس الذي يمتده وليس نفس طول القوس.
- القطاع — منطقة "شريحة الفطيرة" المحددة بالقوس ونصفي قطره. القوس هو حده المنحني؛ مساحته هي \(\tfrac{\theta}{360}\pi r^2\).
الأسئلة الشائعة
ما هي وحدة طول القوس؟ إنها الوحدة نفسها التي أدخلت بها نصف القطر. فإذا كان \(r\) بالأمتار، فإن طول القوس يكون بالأمتار أيضًا.
هل يمكن أن تتجاوز الزاوية 360°؟ تقتصر هذه الأداة على الزوايا بين 0 و360°. وإذا كانت الزاوية تتجاوز الدورة الكاملة، فاطرح منها مضاعفات 360° أولًا.
كيف أحصل على طول الوتر بدلًا من القوس؟ الوتر (الخط المستقيم الواصل بين طرفي القوس) يساوي \(2r \times \sin(\theta/2)\)، وهو يختلف عن طول القوس المنحني.
