¿Qué es el módulo de un número complejo?
Un número complejo se escribe como \(a + bi\), donde \(a\) es la parte real y \(b\) es la parte imaginaria. El módulo (también llamado valor absoluto o magnitud) es la distancia desde el origen hasta el punto \((a, b)\) en el plano complejo. Esta calculadora obtiene esa distancia y, además, te indica el argumento (el ángulo) del número.
Cómo usar esta calculadora
Introduce la parte real \(a\) y la parte imaginaria \(b\) de tu número complejo. La herramienta te devuelve al instante \(|a + bi|\), los componentes elevados al cuadrado \(a^2\) y \(b^2\) que intervienen en el cálculo, y el argumento tanto en radianes como en grados.
La fórmula paso a paso
El módulo se calcula con $$|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}.$$ Es una aplicación directa del teorema de Pitágoras: \(a\) y \(b\) son los dos catetos de un triángulo rectángulo, y el módulo es la hipotenusa. Como ambos términos están elevados al cuadrado, el resultado nunca es negativo. El argumento se obtiene con \(\operatorname{atan2}(b, a)\), que gestiona correctamente todos los cuadrantes.
Ejemplo resuelto
Para el número complejo \(3 + 4i\), calculamos \(a^2 = 9\) y \(b^2 = 16\). Al sumarlos obtenemos \(25\), y la raíz cuadrada de \(25\) es \(5\). Por tanto, $$|3 + 4i| = 5.$$ El argumento es \(\operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0{,}9273\) radianes, es decir, unos \(53{,}13^\circ\).
Números Complejos Comunes y Su Módulo
Módulos y argumentos para números complejos de uso frecuente. Los argumentos utilizan el valor principal de \(\operatorname{atan2}(b,a)\), en el rango \((-180^\circ, 180^\circ]\).
| \(a+bi\) | Módulo \(|a+bi|\) | Argumento (radianes) | Argumento (grados) |
|---|---|---|---|
| \(1+0i\) | 1 | 0 | 0° |
| \(0+1i\) | 1 | \(\pi/2 \approx 1.5708\) | 90° |
| \(1+i\) | \(\sqrt{2} \approx 1.4142\) | \(\pi/4 \approx 0.7854\) | 45° |
| \(3+4i\) | 5 | \(\approx 0.9273\) | \(\approx 53.13°\) |
| \(-1+i\) | \(\sqrt{2} \approx 1.4142\) | \(3\pi/4 \approx 2.3562\) | 135° |
| \(1-i\) | \(\sqrt{2} \approx 1.4142\) | \(-\pi/4 \approx -0.7854\) | −45° |
| \(-1-i\) | \(\sqrt{2} \approx 1.4142\) | \(-3\pi/4 \approx -2.3562\) | −135° |
| \(5+12i\) | 13 | \(\approx 1.1760\) | \(\approx 67.38°\) |
| \(0+0i\) | 0 | 0 (indefinido) | 0° (indefinido) |
Nota: el argumento de \(0+0i\) es indefinido porque el punto está en el origen; la mayoría de las implementaciones devuelven 0 por convención.
Términos Clave
- Número complejo
- Un número de la forma \(a + bi\), donde \(a\) y \(b\) son números reales e \(i\) es la unidad imaginaria que satisface \(i^2 = -1\).
- Parte real (a)
- El componente \(a\) de \(a+bi\) que se encuentra a lo largo del eje horizontal (real) del plano complejo.
- Parte imaginaria (b)
- El coeficiente real \(b\) de la unidad imaginaria en \(a+bi\); se encuentra a lo largo del eje vertical (imaginario). Nótese que la parte imaginaria es el número \(b\), no \(bi\).
- Módulo / valor absoluto
- La distancia desde el origen hasta el punto \((a,b)\) en el plano complejo, escrita como \(|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}\). Siempre es no negativa.
- Argumento
- El ángulo \(\theta\) entre el eje real positivo y la línea desde el origen hasta \((a,b)\), medido en sentido contrario a las agujas del reloj. Combinado con el módulo, proporciona la forma polar \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\).
- Plano complejo
- Un plano bidimensional (también llamado diagrama de Argand) en el que el eje horizontal representa la parte real y el eje vertical representa la parte imaginaria, permitiendo que cada número complejo se represente como un punto.
- Función atan2
- Una arcotangente de dos argumentos, \(\operatorname{atan2}(b, a)\), que devuelve el ángulo correcto en los cuatro cuadrantes (rango \((-\pi, \pi]\)). A diferencia de la simple \(\arctan(b/a)\), utiliza los signos de ambos \(a\) y \(b\) para situar el ángulo en el cuadrante correcto.
Preguntas frecuentes
¿Puede ser negativo el módulo? No. Al tratarse de la raíz cuadrada de una suma de cuadrados, el módulo siempre es cero o positivo.
¿Qué pasa si a y b son ambos cero? En ese caso el módulo es 0 y, por convención, el argumento se toma como 0.
¿Qué diferencia hay entre el módulo y el argumento? El módulo indica a qué distancia está el número del origen, mientras que el argumento señala la dirección (el ángulo) respecto al eje real positivo.
