¿Qué es la calculadora de arcocoseno (coseno inverso)?
El arcocoseno, que se escribe \(\arccos(x)\) o \(\cos^{-1}(x)\), responde a la pregunta: «¿qué ángulo tiene un coseno igual a x?». Como el coseno solo devuelve valores comprendidos entre -1 y 1, el valor de entrada x debe situarse dentro de ese rango. Esta calculadora te da el ángulo principal θ tanto en radianes como en grados, donde θ se encuentra en el intervalo \([0, \pi]\) radianes (es decir, de 0° a 180°).
Cómo usarla
Escribe un número entre -1 y 1 en la casilla de entrada y la calculadora obtendrá \(\theta = \arccos(x)\). El resultado aparece primero en grados, dentro del recuadro destacado, y justo debajo se muestra el valor exacto en radianes. Si introduces valores fuera de \([-1, 1]\), se ajustan automáticamente al extremo válido más cercano, ya que el coseno nunca supera esos límites.
La fórmula, paso a paso
La relación es \(\theta = \arccos(x)\), que es la inversa de \(x = \cos(\theta)\). Para convertir la respuesta de radianes a grados, multiplícala por \(\frac{180}{\pi}\). Por ejemplo, \(\arccos(0) = \frac{\pi}{2}\) radianes = 90°, porque \(\cos(90°) = 0\).
$$\theta = \arccos\left(\text{x}\right) \quad\Rightarrow\quad \theta_{\deg} = \arccos\left(\text{x}\right) \times \frac{180}{\pi}$$
Ejemplo resuelto
Imagina que \(x = 0{,}5\). Entonces \(\theta = \arccos(0{,}5) = 1{,}047198\) radianes. Al convertir:
$$1{,}047198 \times \frac{180}{\pi} \approx 60°$$Es correcto, ya que \(\cos(60°) = 0{,}5\).
Valores comunes de arccos
La función de coseno inverso \(\theta = \arccos(x)\) acepta entradas solo en el rango \(-1 \le x \le 1\) y devuelve un ángulo principal en \([0, \pi]\) radianes, equivalentemente \([0^\circ, 180^\circ]\). La tabla a continuación enumera los valores de referencia estándar utilizados en toda la trigonometría, con el ángulo mostrado como una fracción exacta de \(\pi\) y en grados.
| x | x decimal | arccos(x) (radianes) | arccos(x) (grados) |
|---|---|---|---|
| 1 | 1.000 | \(0\) | 0° |
| \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\) | 0.866 | \(\tfrac{\pi}{6}\) | 30° |
| \(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\) | 0.707 | \(\tfrac{\pi}{4}\) | 45° |
| \(\tfrac{1}{2}\) | 0.500 | \(\tfrac{\pi}{3}\) | 60° |
| 0 | 0.000 | \(\tfrac{\pi}{2}\) | 90° |
| \(-\tfrac{1}{2}\) | -0.500 | \(\tfrac{2\pi}{3}\) | 120° |
| \(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\) | -0.707 | \(\tfrac{3\pi}{4}\) | 135° |
| \(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\) | -0.866 | \(\tfrac{5\pi}{6}\) | 150° |
| -1 | -1.000 | \(\pi\) | 180° |
Observe la simetría: \(\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)\). Por ejemplo, \(\arccos(-\tfrac{1}{2}) = \pi - \tfrac{\pi}{3} = \tfrac{2\pi}{3}\), confirmando el emparejamiento de 60° y 120° en la tabla.
Preguntas frecuentes
¿Por qué x tiene que estar entre -1 y 1? La función coseno nunca genera valores fuera de ese rango, por lo que su inversa solo está definida dentro de él.
¿En qué intervalo está la respuesta? El valor principal del arcocoseno siempre se sitúa entre 0 y π radianes (de 0° a 180°).
¿Cuánto valen \(\arccos(1)\) y \(\arccos(-1)\)? \(\arccos(1) = 0°\) (cos 0° = 1) y \(\arccos(-1) = 180°\) (cos 180° = -1).
