¿Qué es el coeficiente binomial?
El coeficiente binomial, que se escribe \(C(n, k)\) o «n sobre k», indica de cuántas maneras distintas se pueden elegir k elementos de un conjunto de n cuando el orden de selección no importa. Es una de las magnitudes más básicas de la combinatoria y aparece en numerosos ámbitos de la probabilidad, la estadística y el álgebra, como el teorema del binomio, el triángulo de Pascal y la distribución binomial de probabilidad.
Cómo usar esta calculadora
Introduce el número total de elementos n y la cantidad que quieres elegir k, y obtendrás el resultado al instante. La herramienta solo admite números enteros con \(0 \le k \le n\). Si k es mayor que n, el coeficiente es 0, porque no puedes elegir más elementos de los que existen.
La fórmula explicada
La fórmula que lo define es $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\left(n - k\right)!}$$ donde «!» representa el factorial. Para evitar factoriales intermedios enormes, esta calculadora utiliza la forma multiplicativa eficiente: multiplica desde \((n - k + 1)\) hasta n y va dividiendo progresivamente entre 1 hasta k, y aprovecha la simetría \(C(n, k) = C(n, n - k)\) para acortar el bucle.
Ejemplo resuelto
¿Cuántas manos de 3 cartas se pueden formar con una baraja de 10 cartas? $$C(10, 3) = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6} = \mathbf{120}$$ Por tanto, existen 120 combinaciones distintas.
Tabla de Referencia del Triángulo de Pascal
Cada entrada en el triángulo de Pascal es un coeficiente binomial \(\binom{n}{k}\). La fila \(n\) lista los valores desde \(k=0\) en la izquierda hasta \(k=n\) en la derecha. Todo valor interior es igual a la suma de los dos valores directamente encima de él, por lo que \(\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}\). Las filas siguientes cubren \(n=0\) hasta \(n=10\), permitiendo leer directamente los coeficientes pequeños.
| n | k=0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | ||||||||||
| 1 | 1 | 1 | |||||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||
| 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | ||
| 9 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | |
| 10 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
Observe la simetría: cada fila se lee igual hacia adelante y hacia atrás porque \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\). La suma de cada fila \(n\) es igual a \(2^{n}\) — por ejemplo, la fila 10 suma \(2^{10}=1024\).
Más Ejemplos Resueltos
Estos ejemplos muestran la sustitución completa en \(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\) para que cada resultado sea fácil de verificar.
Ejemplo 1 — Manos de póker: C(52,5)
¿Cuántas manos distintas de 5 cartas se pueden repartir de una baraja de 52 cartas? El orden no importa, por lo que usamos el coeficiente binomial.
$$\binom{52}{5}=\frac{52!}{5!\,(52-5)!}=\frac{52\times51\times50\times49\times48}{5\times4\times3\times2\times1}=\frac{311{,}875{,}200}{120}$$
Esto da 2,598,960 manos de póker posibles de 5 cartas.
Ejemplo 2 — El caso límite C(6,6)
Elegir los 6 elementos de un conjunto de 6 se puede hacer de exactamente una forma — mantener todo. Sustituyendo \(k=n=6\):
$$\binom{6}{6}=\frac{6!}{6!\,(6-6)!}=\frac{6!}{6!\cdot 0!}=\frac{720}{720\times 1}=1$$
Esto se basa en la convención \(0!=1\). La misma lógica da \(\binom{n}{0}=1\) para cualquier \(n\): hay exactamente una forma de no elegir nada. Entonces 1.
Ejemplo 3 — Simetría: C(8,2) = C(8,6)
La identidad \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\) significa que elegir \(k\) elementos para incluir es equivalente a elegir los \(n-k\) elementos para dejar fuera. Calcule ambos lados para \(n=8\):
$$\binom{8}{2}=\frac{8!}{2!\,6!}=\frac{8\times7}{2\times1}=\frac{56}{2}=28$$
$$\binom{8}{6}=\frac{8!}{6!\,2!}=\frac{8\times7}{2\times1}=28$$
Ambos son iguales a 28, confirmando la propiedad de simetría. Elegir 2 para mantener de 8 es el mismo conteo que elegir los 6 para descartar.
Preguntas frecuentes
¿Importa el orden? No. Para selecciones ordenadas (permutaciones) usa en su lugar \(\frac{n!}{(n-k)!}\).
¿Cuánto vale \(C(n, 0)\)? Siempre 1: hay exactamente una forma de no elegir nada.
¿Y si \(k > n\)? El resultado es 0; no puedes elegir más elementos de los que hay disponibles.
