Qu'est-ce qu'un triangle 30-60-90 ?
Un triangle 30-60-90 est un triangle rectangle particulier dont les angles intérieurs mesurent exactement 30°, 60° et 90°. Comme ces angles sont fixes, les trois côtés conservent toujours les mêmes proportions. Si le petit côté (celui opposé à l'angle de 30°) a pour longueur \(x\), alors le grand côté (opposé à 60°) vaut \(x\sqrt{3}\) et l'hypoténuse (opposée à 90°) vaut \(2x\). Ce rapport \(1 : \sqrt{3} : 2\) permet de résoudre tout le triangle à partir d'un seul côté connu.
Comment utiliser ce calculateur
Choisissez le côté que vous connaissez déjà — le petit côté, le grand côté ou l'hypoténuse — puis saisissez sa longueur. Le calculateur détermine d'abord le petit côté \(x\), puis en déduit toutes les autres mesures : les côtés restants, l'aire et le périmètre. Il fonctionne avec n'importe quel nombre positif et n'importe quelle unité (cm, m, pouces, pieds), à condition de rester cohérent.
La formule expliquée
Tout repose sur le petit côté \(x\). À partir d'un grand côté connu, \(x = \text{grand côté} \div \sqrt{3}\) ; à partir d'une hypoténuse connue, \(x = \text{hypoténuse} \div 2\). Ensuite, grand côté = \(x\sqrt{3}\), hypoténuse = \(2x\), aire = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\,x^2\) et périmètre = \(x + x\sqrt{3} + 2x = x(3 + \sqrt{3})\).
Exemple concret
Supposons que le petit côté mesure 5. Alors le grand côté = $$5 \times \sqrt{3} \approx 8{,}66$$ l'hypoténuse = $$2 \times 5 = 10$$ l'aire = $$\frac{\sqrt{3}}{2} \times 5^2 \approx 21{,}65$$ et le périmètre $$\approx 5 + 8{,}66 + 10 = 23{,}66$$
Tableau de référence des rapports de côtés 30-60-90
Dans chaque triangle rectangle 30-60-90, les trois côtés maintiennent le rapport fixe \(1 : \sqrt{3} : 2\). Si la jambe courte (opposée à l'angle de 30°) est \(a\), alors la jambe longue (opposée à 60°) est \(a\sqrt{3}\) et l'hypoténuse (opposée à l'angle de 90°) est \(2a\). L'aire est \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}a^{2}\) et le périmètre est \(a(3+\sqrt{3})\). Le tableau ci-dessous énumère les valeurs exactes et approximatives (en utilisant \(\sqrt{3}\approx1.732\)) pour plusieurs longueurs de jambe courte courantes.
| Jambe courte \(a\) | Jambe longue \(a\sqrt{3}\) | Hypoténuse \(2a\) | Aire \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}a^{2}\) | Périmètre \(a(3+\sqrt{3})\) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | \(\sqrt{3}\approx1.732\) | 2 | \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0.866\) | \(3+\sqrt{3}\approx4.732\) |
| 2 | \(2\sqrt{3}\approx3.464\) | 4 | \(2\sqrt{3}\approx3.464\) | \(\approx9.464\) |
| 5 | \(5\sqrt{3}\approx\) 8.660 | 10 | \(\tfrac{25\sqrt{3}}{2}\approx21.651\) | \(\approx23.660\) |
| 10 | \(10\sqrt{3}\approx17.321\) | 20 | \(50\sqrt{3}\approx86.603\) | \(\approx47.321\) |
Chaque ligne se met à l'échelle linéairement : doubler la jambe courte double chaque côté et le périmètre, mais quadruple l'aire (puisque l'aire dépend de \(a^{2}\)).
FAQ
Quel est le petit côté ? Le petit côté est toujours celui opposé au plus petit angle, soit 30°. C'est le plus court des trois côtés.
Puis-je saisir l'hypoténuse ? Oui. Sélectionnez « Hypoténuse » dans le menu ; le calculateur la divise par 2 pour trouver le petit côté, puis reconstruit le triangle.
Le grand côté vaut-il le double du petit côté ? Non, c'est une erreur fréquente. C'est l'hypoténuse qui vaut le double du petit côté ; le grand côté, lui, vaut \(\sqrt{3}\) (≈ 1,732) fois le petit côté.
