Qu'est-ce que le paradoxe des anniversaires ?
Le paradoxe des anniversaires désigne ce fait étonnant : dans un groupe de seulement 23 personnes, il y a plus d'une chance sur deux pour que deux d'entre elles soient nées le même jour. Cela semble contre-intuitif, car on imagine spontanément quelqu'un partageant notre propre date de naissance. Or le calcul prend en compte n'importe quelle coïncidence entre deux personnes, et le nombre de paires possibles augmente très vite avec la taille du groupe. Il s'agit de probabilités pures, valables partout dans le monde.
Comment utiliser ce calculateur
Indiquez la plus petite taille de groupe (« Taille de groupe à partir de »), la plus grande (« Taille de groupe jusqu'à ») et, si vous le souhaitez, modifiez le nombre de jours dans l'année (365 par défaut, ou 366 pour inclure le 29 février). L'outil génère un tableau comportant une ligne par taille de groupe et affiche deux probabilités pour chacune : celle qu'aucune date ne coïncide, et celle qu'au moins deux personnes partagent leur anniversaire. Il vous signale également la première taille de groupe pour laquelle la probabilité de coïncidence atteint 50 %.
La formule
Soit D le nombre de jours dans l'année. La probabilité que les n personnes aient toutes des dates de naissance différentes correspond au produit des jours encore disponibles, dont le nombre diminue à chaque étape : $$\bar{p}(n) = \frac{D}{D} \times \frac{D-1}{D} \times \dots \times \frac{D-n+1}{D}$$ La probabilité qu'au moins deux personnes coïncident vaut alors simplement $$p(n) = 1 - \bar{p}(n)$$ On multiplie les termes un à un pour éviter de manipuler d'énormes factorielles, et dès que \(n\) dépasse \(D\) la probabilité d'absence de coïncidence tombe à 0, en vertu du principe des tiroirs.
Exemple chiffré
Avec \(D = 365\) et \(n = 23\), le produit $$\frac{365}{365}\cdot\frac{364}{365}\cdots\frac{343}{365}$$ donne \(\bar{p}(23) \approx 0{,}492703\), soit \(p(23) \approx 0{,}507297\), c'est-à-dire environ 50,73 % de chances. Pour \(n = 2\), la probabilité n'est que de 0,27 %, et dès \(n = 50\) elle grimpe à près de 97,04 %.
Seuils courants : combien de personnes pour une probabilité donnée ?
Le paradoxe classique des anniversaires surprend les gens car la probabilité d'un anniversaire partagé augmente beaucoup plus vite que l'intuition le suggère. Le tableau ci-dessous montre la plus petite taille de groupe \(n\) à laquelle la probabilité \(P(n)\) d'au moins un anniversaire partagé atteint pour la première fois chaque seuil courant, en supposant \(D = 365\) jours et des anniversaires uniformément distribués (en ignorant les années bissextiles et les variations saisonnières des naissances).
| Probabilité cible | Taille du groupe \(n\) | \(P(n)\) réelle à cette taille |
|---|---|---|
| 10% | 9 | 11,6% |
| 50% | 23 | 50,7% |
| 90% | 41 | 90,3% |
| 95% | 47 | 95,0% |
| 99% | 57 | 99,0% |
| 99,9% | 70 | 99,92% |
Le jalon le plus célèbre est seulement 23 personnes, ce qui suffit pour qu'un anniversaire partagé soit plus probable que non. Notez que la probabilité augmente fortement dans la plage médiane — passant d'une chance de 50 % à 23 personnes à un quasi-certain 99 % à seulement 57 — puis s'aplatit à mesure qu'elle approche 100 %, car chaque personne supplémentaire ajoute moins de nouvelles opportunités d'appairage par rapport à celles déjà présentes.
Questions fréquentes
Pourquoi le seuil des 50 % est-il franchi si tôt ? Parce que 23 personnes forment 253 paires distinctes, et chacune de ces paires peut donner lieu à une coïncidence.
Le calcul tient-il compte des années bissextiles ou de la répartition réelle des naissances ? Non. Il suppose 365 (ou 366) dates de naissance équiprobables ; en réalité, les pics de naissances ne font qu'augmenter la probabilité de coïncidence.
Que se passe-t-il au-delà de 365 personnes ? Une coïncidence devient certaine : \(p(n) = 1\).
