Ce calculateur de combinaisons (nCr) vous permet de déterminer le nombre total de façons de choisir un échantillon au sein d'un ensemble d'objets distincts, lorsque l'ordre n'a pas d'importance et que les répétitions ne sont pas autorisées. C'est l'outil idéal pour résoudre les problèmes de combinaisons et d'arrangements en probabilités, en statistiques et bien plus encore.
Qu'est-ce qu'une combinaison ?
En analyse combinatoire, une combinaison est une manière de sélectionner des éléments dans un ensemble plus vaste sans que l'ordre n'entre en jeu. Elle se distingue ainsi des arrangements (ou permutations), pour lesquels l'ordre est déterminant.
La formule des combinaisons classique s'écrit :
$$C(n, r) = \binom{\text{n}}{\text{r}} = \frac{\text{n}!}{\text{r}!\,\left(\text{n} - \text{r}\right)!}$$où :
- n = nombre total d'éléments de l'ensemble
- r = taille de l'échantillon, c'est-à-dire le nombre d'éléments choisis
- ! = factorielle
Ce calculateur traite les combinaisons sans répétition : autrement dit, chaque objet n'est sélectionné qu'une seule fois par combinaison.
Quand utiliser ce calculateur ?
- Sélectionner un groupe de gagnants au sein d'un ensemble plus large
- Tirer des cartes d'un jeu lorsque l'ordre n'a pas d'importance
- Résoudre des problèmes de statistiques liés aux combinaisons et aux arrangements
- Déterminer le nombre d'arrangements lorsque seules les combinaisons sont requises
Comment ça marche
- Saisissez le nombre d'éléments (n) : indiquez l'effectif total de l'ensemble d'objets.
- Saisissez la taille de l'échantillon (r) : précisez combien d'éléments vous souhaitez choisir.
- Cliquez sur Calculer : le calculateur applique la formule des combinaisons pour obtenir le résultat.
- Consultez le résultat : vous découvrez de combien de façons vous pouvez choisir
réléments parminlorsque l'ordre n'a pas d'importance.
Exemple de calcul
Supposons que vous vouliez choisir 3 éléments dans un ensemble de 10 :
$$n = 10, \quad r = 3$$ $$10C3 = \frac{10!}{3!\,(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$$Il existe donc 120 combinaisons possibles de 3 éléments parmi un ensemble de 10.
Questions fréquentes
1. Quelle est la différence entre une combinaison et un arrangement ?
Une combinaison s'emploie lorsque l'ordre n'a pas d'importance, tandis qu'un arrangement (ou permutation) intervient lorsque l'ordre compte. Par exemple, composer une équipe relève de la combinaison, alors qu'attribuer des tâches précises relève de l'arrangement.
2. Puis-je calculer des combinaisons avec répétition ?
Ce calculateur est conçu pour les combinaisons sans répétition. Si les répétitions sont autorisées, il faut recourir à une autre formule : n+r-1Cr.
3. Que se passe-t-il si la taille de l'échantillon dépasse le nombre total d'éléments ?
Vous ne pouvez pas choisir plus d'éléments qu'il n'en existe dans l'ensemble. Si r > n, la combinaison n'est pas définie mathématiquement.
Tableau de Référence nCr pour les Valeurs Communes
Le tableau ci-dessous donne \(C(n, r)\) pour les petites valeurs de \(n\) (de 1 à 10) pour chaque choix valide de \(r\) (de 0 jusqu'à \(n\)). Il s'agit du célèbre triangle de Pascal : chaque valeur intérieure égale la somme des deux valeurs situées diagonalement au-dessus, et chaque ligne est symétrique parce que \(C(n, r) = C(n, n-r)\). Lisez la valeur où votre ligne \(n\) rencontre votre colonne \(r\).
| n \ r | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | |||||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||
| 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | ||
| 9 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | |
| 10 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
Notez que \(C(n, 0) = C(n, n) = 1\) (il existe exactement une façon de ne rien choisir, et une façon de tout choisir) et \(C(n, 1) = n\) (il existe \(n\) façons de choisir un seul élément).
Davantage d'Exemples Détaillés
Chaque exemple substitue les valeurs directement dans la formule de combinaisons \(C(n, r) = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\), où l'ordre n'a pas d'importance.
-
Mains de poker — 52 parmi 5. Un jeu standard a 52 cartes et une main de poker comprend 5 cartes tirées sans égard à l'ordre :
$$C(52, 5) = \frac{52!}{5!\,(52-5)!} = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49 \times 48}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{311{,}875{,}200}{120}$$ce qui donne 2 598 960 mains distinctes de cinq cartes.
-
Choisir tous les éléments — 6 parmi 6. Lorsque vous devez sélectionner chaque élément, il n'existe qu'un seul groupe possible :
$$C(6, 6) = \frac{6!}{6!\,(6-6)!} = \frac{6!}{6! \times 0!} = \frac{720}{720 \times 1} = 1$$Ceci utilise la convention que \(0! = 1\). Donc \(C(6, 6) = \) 1.
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Ne rien choisir — 8 parmi 0. Il existe exactement une façon de ne rien choisir dans un ensemble (la sélection vide) :
$$C(8, 0) = \frac{8!}{0!\,(8-0)!} = \frac{8!}{1 \times 8!} = 1$$Par conséquent, \(C(8, 0) = \) 1.
-
Un comité — 10 parmi 3. Sélectionner un comité de 3 personnes parmi 10 candidats (les postes ne sont pas différenciés) :
$$C(10, 3) = \frac{10!}{3!\,(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6}$$ce qui donne 120 comités possibles. Si les rôles étaient distincts (président, secrétaire, trésorier), l'ordre aurait de l'importance et vous calculeriez plutôt la permutation 720.
Termes Clés et Définitions
- Combinaison
- Une sélection d'éléments parmi un ensemble plus grand où l'ordre de sélection n'a pas d'importance. Le nombre de combinaisons de \(r\) éléments parmi \(n\) est noté \(C(n, r)\), \(\binom{n}{r}\), ou « n parmi r ».
- Permutation
- Un arrangement ordonné d'éléments. Parce que l'ordre a de l'importance, les permutations sont toujours au moins aussi nombreuses que les combinaisons : \(P(n, r) = C(n, r) \times r!\). Par exemple, \{A, B\} et \{B, A\} comptent pour une combinaison mais deux permutations.
- n (taille de l'ensemble)
- Le nombre total d'éléments distincts disponibles pour choisir — la taille de l'ensemble complet. Dans la formule, c'est le nombre du haut de \(\binom{n}{r}\).
- r (taille de l'échantillon)
- Le nombre d'éléments que vous sélectionnez dans l'ensemble. Il doit satisfaire \(0 \le r \le n\). Dans la formule, c'est le nombre du bas de \(\binom{n}{r}\).
- Factorielle (!)
- Le produit de tous les entiers positifs jusqu'à un nombre : \(n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1\). Par définition, \(0! = 1\). Les factorielles apparaissent partout dans la formule de combinaisons. Par exemple, \(5! = 120\).
- « L'ordre n'a pas d'importance »
- La propriété définissante des combinaisons : deux sélections contenant les mêmes éléments sont considérées comme identiques quel que soit l'ordre dans lequel elles ont été choisies. C'est pourquoi \(C(n, r)\) divise le décompte ordonné \(P(n, r)\) par \(r!\) pour supprimer les ordres en double.
nCr dans différents scénarios
La même formule de combinaisons, \(C(n,r)=\dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\), résout de nombreux problèmes de dénombrement du quotidien. Parce que l'ordre n'a pas d'importance dans une combinaison, nCr répond à des questions comme « combien de groupes distincts peuvent être formés » plutôt que « combien de séquences ordonnées ». Le tableau ci-dessous traite plusieurs cas réalistes, chacun calculé avec cette calculatrice.
| Scénario | n (total) | r (choisis) | nCr | Contexte du monde réel |
|---|---|---|---|---|
| Appairage simple | 5 | 2 | 10 | Nombre de façons de choisir 2 coéquipiers parmi 5 personnes, ou 2 garnitures parmi 5 options. |
| Sélection de comité | 10 | 3 | 120 | Sous-comités distincts de 3 membres qui peuvent être constitués à partir d'un groupe de 10. |
| Loterie 6/49 | 49 | 6 | 13 983 816 | Total des tirages possibles de 6 numéros parmi 49 — les probabilités de correspondre aux six sur un billet sont 1 parmi ce nombre. |
| Mains de poker | 52 | 5 | 2 598 960 | Nombre de mains de 5 cartes distinctes distribuées à partir d'un jeu standard de 52 cartes (ordre ignoré). |
| Garnitures de pizza | 8 | 3 | 56 | Façons de choisir 3 garnitures parmi un menu de 8, où l'ordre de sélection n'a pas d'importance. |
Vérification détaillée du cas du poker : \(C(52,5)=\dfrac{52!}{5!\,(52-5)!}=\dfrac{52\cdot51\cdot50\cdot49\cdot48}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=\dfrac{311{,}875{,}200}{120}=2{,}598{,}960.\) Si l'ordre avait de l'importance, vous utiliseriez plutôt les permutations, \(P(n,r)=\dfrac{n!}{(n-r)!}\), donnant un décompte beaucoup plus grand.
