यह कॉम्बिनेशन कैलकुलेटर (nCr) आपको यह गणना करने में मदद करता है कि अलग-अलग वस्तुओं के एक समूह में से किसी सैम्पल साइज़ को कितने तरीकों से चुना जा सकता है, जहाँ क्रम मायने नहीं रखता और पुनरावृत्ति (दोहराव) की अनुमति नहीं है। प्रायिकता, सांख्यिकी और इससे जुड़े कॉम्बिनेशन और परम्यूटेशन के सवाल हल करने के लिए यह बेहद उपयोगी है।
कॉम्बिनेशन क्या होते हैं?
कॉम्बिनेटोरिक्स में, कॉम्बिनेशन किसी बड़े समूह में से वस्तुओं को चुनने का एक तरीका है, जहाँ क्रम महत्वपूर्ण नहीं होता। यह परम्यूटेशन से अलग है, जहाँ क्रम महत्वपूर्ण होता है।
मानक कॉम्बिनेशन सूत्र इस प्रकार है:
$$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,\left(n - r\right)!}$$जहाँ:
- \(n\) = समूह में मौजूद तत्वों की कुल संख्या
- \(r\) = सैम्पल साइज़ यानी चुनी गई वस्तुओं की संख्या
- \(!\) = फैक्टोरियल
यह कैलकुलेटर बिना पुनरावृत्ति वाले कॉम्बिनेशन की गणना करता है — यानी हर कॉम्बिनेशन में प्रत्येक वस्तु को केवल एक बार ही चुना जाता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कब करें
- किसी बड़े समूह में से विजेताओं का दल चुनते समय
- ताश के पत्तों में से पत्ते चुनते समय, जहाँ क्रम मायने नहीं रखता
- कॉम्बिनेशन और परम्यूटेशन से जुड़े सांख्यिकीय सवाल हल करते समय
- जब केवल कॉम्बिनेशन की ज़रूरत हो, तब कुल परम्यूटेशन की संख्या निकालते समय
यह कैसे काम करता है
- तत्वों की संख्या (n) डालें: समूह में मौजूद वस्तुओं की कुल गिनती दर्ज करें।
- सैम्पल साइज़ (r) डालें: तय करें कि आप कितने तत्व चुनना चाहते हैं।
- Calculate पर क्लिक करें: कैलकुलेटर कॉम्बिनेशन सूत्र का उपयोग करके परिणाम निकालता है।
- परिणाम देखें: आपको पता चलेगा कि जब क्रम मायने नहीं रखता, तब
nमें सेrतत्व कितने तरीकों से चुने जा सकते हैं।
उदाहरण गणना
मान लीजिए आप 10 तत्वों के समूह में से 3 तत्व चुनना चाहते हैं:
$$n = 10, \quad r = 3$$ $$10C3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$$यानी, 10 के समूह में से 3 तत्वों के कुल 120 कॉम्बिनेशन बनते हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
1. कॉम्बिनेशन और परम्यूटेशन में क्या अंतर है?
कॉम्बिनेशन का उपयोग तब होता है जब क्रम मायने नहीं रखता, जबकि परम्यूटेशन तब लागू होता है जब क्रम महत्वपूर्ण होता है। उदाहरण के लिए, टीम के सदस्यों को चुनना कॉम्बिनेशन है, जबकि उन्हें अलग-अलग काम सौंपना परम्यूटेशन है।
2. क्या मैं पुनरावृत्ति के साथ कॉम्बिनेशन निकाल सकता हूँ?
यह कैलकुलेटर बिना पुनरावृत्ति वाले कॉम्बिनेशन के लिए बनाया गया है। अगर पुनरावृत्ति की अनुमति हो, तो एक अलग सूत्र का उपयोग करना होगा: n+r-1Cr।
3. अगर सैम्पल साइज़ तत्वों की कुल संख्या से ज़्यादा हो तो क्या होगा?
आप समूह में उपलब्ध तत्वों से ज़्यादा तत्व नहीं चुन सकते। अगर r > n हो, तो कॉम्बिनेशन गणितीय रूप से अपरिभाषित (undefined) होता है।
सामान्य मानों के लिए nCr संदर्भ तालिका
नीचे दी गई तालिका \(C(n, r)\) को \(n\) के छोटे मानों (1 से 10 तक) के लिए \(r\) के हर मान्य विकल्प में दिखाती है (0 से \(n\) तक)। यह प्रसिद्ध पास्कल का त्रिभुज है: प्रत्येक अंदरूनी मान इसके ऊपर विकर्ण से दोनों मानों के योग के बराबर है, और प्रत्येक पंक्ति सममित है क्योंकि \(C(n, r) = C(n, n-r)\)। अपनी पंक्ति \(n\) और स्तंभ \(r\) से मिलने वाली जगह पर मान पढ़ें।
| n \ r | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | |||||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||
| 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | ||
| 9 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | |
| 10 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
ध्यान दें कि \(C(n, 0) = C(n, n) = 1\) (कुछ नहीं चुनने का बिल्कुल एक तरीका है, और सब कुछ चुनने का एक तरीका है) और \(C(n, 1) = n\) (एकल वस्तु चुनने के \(n\) तरीके हैं)।
अधिक सुलझाए गए उदाहरण
प्रत्येक उदाहरण संयोजन सूत्र में मानों को सीधे प्रतिस्थापित करता है \(C(n, r) = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\), जहाँ क्रम कोई मायने नहीं रखता।
-
पोकर हाथ — 52 को 5 से चुनें। एक मानक डेक में 52 कार्ड हैं और एक पोकर हाथ 5 कार्ड है जो क्रम की परवाह किए बिना निकाले जाते हैं:
$$C(52, 5) = \frac{52!}{5!\,(52-5)!} = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49 \times 48}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{311{,}875{,}200}{120}$$जो 2,598,960 विभिन्न पाँच-कार्ड हाथ देता है।
-
सभी को चुनना — 6 को 6 से चुनें। जब आपको हर वस्तु का चयन करना होता है, तो केवल एक संभावित समूह होता है:
$$C(6, 6) = \frac{6!}{6!\,(6-6)!} = \frac{6!}{6! \times 0!} = \frac{720}{720 \times 1} = 1$$यह सम्मेलन का उपयोग करता है कि \(0! = 1\)। इसलिए \(C(6, 6) = \) 1।
-
कुछ नहीं चुनना — 8 को 0 से चुनें। एक समुच्चय से कुछ नहीं चुनने का बिल्कुल एक तरीका है (खाली चयन):
$$C(8, 0) = \frac{8!}{0!\,(8-0)!} = \frac{8!}{1 \times 8!} = 1$$इसलिए \(C(8, 0) = \) 1।
-
एक समिति — 10 को 3 से चुनें। 10 उम्मीदवारों से एक 3-व्यक्तीय समिति का चयन (पद को अलग नहीं माना जाता):
$$C(10, 3) = \frac{10!}{3!\,(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6}$$120 संभावित समितियाँ देता है। यदि भूमिकाएँ अलग होतीं (अध्यक्ष, सचिव, कोषाध्यक्ष), तो क्रम महत्वपूर्ण होता और आप इसके बजाय क्रमचय 720 की गणना करते।
मुख्य शर्तें और परिभाषाएँ
- संयोजन
- एक बड़े समुच्चय से वस्तुओं का चयन जहाँ चयन का क्रम कोई मायने नहीं रखता। \(n\) में से \(r\) वस्तुओं के संयोजनों की संख्या को \(C(n, r)\), \(\binom{n}{r}\), या "n को r से चुनें" लिखा जाता है।
- क्रमचय
- वस्तुओं की एक क्रमबद्ध व्यवस्था। क्योंकि क्रम महत्वपूर्ण है, क्रमचय हमेशा संयोजन जितने या अधिक होते हैं: \(P(n, r) = C(n, r) \times r!\)। उदाहरण के लिए, \{A, B\} और \{B, A\} एक संयोजन के रूप में गिने जाते हैं लेकिन दो क्रमचय के रूप में।
- n (समुच्चय का आकार)
- चुनने के लिए उपलब्ध विभिन्न वस्तुओं की कुल संख्या — पूरे समुच्चय का आकार। सूत्र में यह \(\binom{n}{r}\) की शीर्ष संख्या है।
- r (नमूना आकार)
- समुच्चय से आप जितनी वस्तुओं का चयन कर रहे हैं। इसे \(0 \le r \le n\) को संतुष्ट करना चाहिए। सूत्र में यह \(\binom{n}{r}\) की निचली संख्या है।
- भाज्य (!)
- एक संख्या तक की सभी सकारात्मक पूर्णांकों का गुणनफल: \(n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1\)। परिभाषा के अनुसार \(0! = 1\)। भाज्य पूरे संयोजन सूत्र में दिखाई देते हैं। उदाहरण के लिए, \(5! = 120\)।
- "क्रम कोई मायने नहीं रखता"
- संयोजन की परिभाषाएँ संपत्ति: एक ही वस्तुओं वाले दोनों चयनों को समान माना जाता है भले ही उन्हें चुने जाने का क्रम कुछ भी हो। यही कारण है कि \(C(n, r)\) क्रमबद्ध गणना \(P(n, r)\) को \(r!\) से विभाजित करता है ताकि डुप्लिकेट क्रमण हटाए जा सकें।
विभिन्न परिस्थितियों में nCr
वही संयोजन सूत्र, \(C(n,r)=\dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\), कई रोज़मर्रा की गिनती की समस्याओं को हल करता है। चूंकि एक संयोजन में क्रम महत्वपूर्ण नहीं है, nCr इस तरह के प्रश्नों के उत्तर देता है "कितने अलग-अलग समूह बनाए जा सकते हैं" न कि "कितने क्रमबद्ध क्रम हैं"। नीचे दी गई तालिका कई वास्तविक मामलों को दर्शाती है, जिनमें से प्रत्येक इस कैलकुलेटर से गणना की गई है।
| परिस्थिति | n (कुल) | r (चुने हुए) | nCr | वास्तविक दुनिया का संदर्भ |
|---|---|---|---|---|
| छोटी युग्मन | 5 | 2 | 10 | 5 लोगों में से 2 सहकर्मियों को चुनने के तरीके, या 5 विकल्पों में से 2 टॉपिंग चुनने के तरीके। |
| समिति का चयन | 10 | 3 | 120 | 10 लोगों के समूह से बनाई जा सकने वाली अलग-अलग 3-सदस्यीय उप-समितियां। |
| 6/49 लॉटरी | 49 | 6 | 13,983,816 | 49 में से 6 नंबर निकालने के कुल संभावित तरीके — एक टिकट पर सभी छह से मेल खाने की संभावना 1 इस संख्या के विरुद्ध है। |
| पोकर हाथ | 52 | 5 | 2,598,960 | मानक 52-कार्ड डेक से निकाले गए अलग-अलग 5-कार्ड हाथों की संख्या (क्रम को अनदेखा करते हुए)। |
| पिज़्ज़ा टॉपिंग | 8 | 3 | 56 | 8 विकल्पों की एक मेनू से 3 टॉपिंग चुनने के तरीके, जहां चुनने का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है। |
पोकर मामले के लिए कार्य जांच: \(C(52,5)=\dfrac{52!}{5!\,(52-5)!}=\dfrac{52\cdot51\cdot50\cdot49\cdot48}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=\dfrac{311{,}875{,}200}{120}=2{,}598{,}960.\) यदि क्रम वास्तव में मायने रखता था, तो आप इसके बजाय क्रमपरिवर्तन, \(P(n,r)=\dfrac{n!}{(n-r)!}\), का उपयोग करते, जिससे एक बहुत बड़ी गणना मिलती।
