複素数の絶対値（モジュラス）とは？

複素数は a + bi の形で表され、a が実部、b が虚部です。絶対値（モジュラス、大きさとも呼ばれます）とは、複素平面上で原点から点 (a, b) までの距離のことです。この計算ツールは、その距離に加えて、複素数の偏角（角度）も求めます。

このツールの使い方

複素数の実部 $a$ と虚部 $b$ を入力してください。$|a + bi|$ の値、計算に使う $a^2$ と $b^2$ の二乗項、そしてラジアンと度の両方で表した偏角が、その場ですぐに表示されます。

絶対値は次の式で求められます。

$$|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$$

これはピタゴラスの定理をそのまま応用したものです。$a$ と $b$ が直角三角形の2辺となり、絶対値がその斜辺にあたります。どちらの項も二乗されるため、結果は必ず0以上になります。偏角は次の式で求められ、これによりすべての象限を正しく扱うことができます。

$$\theta = \operatorname{atan2}(b, a)$$

複素数 3 + 4i の場合、$a^2 = 9$、$b^2 = 16$ となります。これらを足すと 25 になり、25 の平方根は 5 です。したがって次のようになります。

$$|3 + 4i| = 5$$

偏角は $\operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0.9273$ ラジアン、すなわち約 53.13° です。

よく使用される複素数のモジュラスと偏角。偏角は $\operatorname{atan2}(b,a)$ の主値を使用し、範囲は $(-180^\circ, 180^\circ]$ です。

$a+bi$	モジュラス $\|a+bi\|$	偏角（ラジアン）	偏角（度）
$1+0i$	1	0	0°
$0+1i$	1	$\pi/2 \approx 1.5708$	90°
$1+i$	$\sqrt{2} \approx 1.4142$	$\pi/4 \approx 0.7854$	45°
$3+4i$	5	$\approx 0.9273$	$\approx 53.13°$
$-1+i$	$\sqrt{2} \approx 1.4142$	$3\pi/4 \approx 2.3562$	135°
$1-i$	$\sqrt{2} \approx 1.4142$	$-\pi/4 \approx -0.7854$	−45°
$-1-i$	$\sqrt{2} \approx 1.4142$	$-3\pi/4 \approx -2.3562$	−135°
$5+12i$	13	$\approx 1.1760$	$\approx 67.38°$
$0+0i$	0	0（未定義）	0°（未定義）

注：$0+0i$ の偏角は原点にあるため未定義です。ほとんどの実装では慣例により 0 を返します。

複素数: $a + bi$ の形の数。ここで $a$ と $b$ は実数であり、$i$ は虚数単位で $i^2 = -1$ を満たします。
実部（a）: $a+bi$ の成分 $a$。複素平面の水平軸（実軸）に沿って位置します。
虚部（b）: $a+bi$ の虚数単位の実数係数 $b$。垂直軸（虚軸）に沿って位置します。虚部は数 $b$ であり、$bi$ ではないことに注意してください。
モジュラス / 絶対値: 複素平面の原点から点 $(a,b)$ までの距離。$|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$ と書きます。常に非負です。
偏角: 正の実軸から原点を通る点 $(a,b)$ への直線の間の角度 $\theta$。反時計回りに測定されます。モジュラスと組み合わせると、極形式 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ が得られます。
複素平面: 水平軸が実部を表し、垂直軸が虚部を表す二次元平面（アルガン図とも呼ばれます）。各複素数を点としてプロットできます。
atan2 関数: 2つの引数を取る逆正接。$\operatorname{atan2}(b, a)$ は4つの象限すべてで正しい角度を返します（範囲 $(-\pi, \pi]$）。単純な $\arctan(b/a)$ とは異なり、$a$ と $b$ の両方の符号を使用して角度を適切な象限に配置します。

絶対値が負になることはありますか？ いいえ。二乗の和の平方根であるため、絶対値は常に0または正の値になります。

a と b が両方とも0のときはどうなりますか？ その場合、絶対値は0となり、偏角は慣例的に0とします。

絶対値と偏角の違いは何ですか？ 絶対値は複素数が原点からどれだけ離れているかを表し、偏角は正の実軸を基準とした方向（角度）を表します。

\(a+bi\)	モジュラス \(\|a+bi\|\)	偏角（ラジアン）	偏角（度）
\(1+0i\)	1	0	0°
\(0+1i\)	1	\(\pi/2 \approx 1.5708\)	90°
\(1+i\)	\(\sqrt{2} \approx 1.4142\)	\(\pi/4 \approx 0.7854\)	45°
\(3+4i\)	5	\(\approx 0.9273\)	\(\approx 53.13°\)
\(-1+i\)	\(\sqrt{2} \approx 1.4142\)	\(3\pi/4 \approx 2.3562\)	135°
\(1-i\)	\(\sqrt{2} \approx 1.4142\)	\(-\pi/4 \approx -0.7854\)	−45°
\(-1-i\)	\(\sqrt{2} \approx 1.4142\)	\(-3\pi/4 \approx -2.3562\)	−135°
\(5+12i\)	13	\(\approx 1.1760\)	\(\approx 67.38°\)
\(0+0i\)	0	0（未定義）	0°（未定義）