Что такое парадокс дней рождения?
Парадокс дней рождения — это удивительный факт: уже в группе из 23 человек шанс на то, что у двоих из них дни рождения совпадают, превышает 50%. Это кажется неправдоподобным, потому что люди мысленно ищут совпадение со своим собственным днём рождения, тогда как расчёт учитывает любую совпадающую пару, а число возможных пар растёт с увеличением группы стремительно. Это чистая теория вероятностей, и она работает где угодно.
Как пользоваться калькулятором
Укажите минимальный размер группы («Размер группы от»), максимальный («Размер группы до») и при желании измените число дней в году (по умолчанию 365 или 366, если учитывать 29 февраля). Калькулятор построит таблицу, где для каждого размера группы будет своя строка, и покажет две вероятности: что ни у кого дни рождения не совпадают и что совпадают хотя бы у одной пары. Он также подскажет, при каком размере группы вероятность совпадения впервые достигает 50%.
Формула
Пусть \(D\) — число дней в году. Вероятность того, что у всех \(n\) человек дни рождения разные, равна произведению уменьшающегося набора «свободных» дней:
$$\bar{p}(n) = \frac{D}{D} \times \frac{D-1}{D} \times \cdots \times \frac{D-n+1}{D}$$Вероятность того, что совпадёт хотя бы одна пара, считается просто:
$$p(n) = 1 - \bar{p}(n)$$Мы перемножаем множители последовательно, чтобы не работать с гигантскими факториалами, и как только \(n\) превышает \(D\), вероятность отсутствия совпадений становится равной 0 по принципу Дирихле.
Разбор примера
При \(D = 365\) и \(n = 23\) произведение
$$\frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdots \frac{343}{365}$$даёт \(\bar{p}(23) \approx 0{,}492703\), откуда \(p(23) \approx 0{,}507297\) — то есть около 50,73%. Для \(n = 2\) шанс составляет всего 0,27%, а уже при \(n = 50\) он вырастает примерно до 97,04%.
Частые вопросы
Почему порог 50% достигается так рано? Потому что 23 человека образуют 253 различные пары, и совпасть может любая из них.
Учитываются ли високосные годы и неравномерность дней рождения? Нет. Модель предполагает, что все 365 (или 366) дней равновероятны; реальная неравномерность распределения лишь повышает вероятность совпадения.
Что происходит при числе людей больше 365? Совпадение гарантировано, поэтому \(p(n) = 1\).
Типичные пороги: Сколько людей для заданной вероятности?
Классический парадокс дней рождения удивляет людей, потому что вероятность совпадения дней рождения растёт намного быстрее, чем предполагает интуиция. В таблице ниже показана наименьшая численность группы \(n\), при которой вероятность \(P(n)\) совпадения хотя бы одного дня рождения впервые достигает каждого типичного порога, при условии, что \(D = 365\) дней и дни рождения распределены равномерно (без учёта високосных лет и сезонных особенностей рождаемости).
| Целевая вероятность | Численность группы \(n\) | Фактическое значение \(P(n)\) при такой численности |
|---|---|---|
| 10% | 9 | 11,6% |
| 50% | 23 | 50,7% |
| 90% | 41 | 90,3% |
| 95% | 47 | 95,0% |
| 99% | 57 | 99,0% |
| 99,9% | 70 | 99,92% |
Самый известный рубеж — это всего лишь 23 человека, чего достаточно, чтобы совпадение дней рождения стало более вероятным, чем нет. Обратите внимание, что вероятность резко возрастает в среднем диапазоне — от 50% при 23 человеках к почти полной уверенности 99% уже при 57 человеках — а затем выравнивается по мере приближения к 100%, так как каждый дополнительный человек добавляет всё меньше новых пар по сравнению с уже имеющимися.
