Что такое функция Ланжевена?
Функция Ланжевена задаётся выражением \(L(x) = \coth(x) - \frac{1}{x}\), где \(\coth(x)\) — гиперболический котангенс. Впервые она появилась в классической теории парамагнетизма Поля Ланжевена, где описывает среднюю намагниченность ансамбля свободно вращающихся магнитных диполей во внешнем поле. Та же функция встречается в теории диэлектрической поляризации Ланжевена–Дебая и в статистической механике свободносочленённых полимерных цепей, связывая удлинение цепи с приложенным натяжением. С математической точки зрения это предел функции Бриллюэна при \(J\), стремящемся к бесконечности.
Как пользоваться калькулятором
Введите любое вещественное число в качестве аргумента \(x\) — положительное, отрицательное или ноль — и калькулятор вернёт значение \(L(x)\). Функция нечётная, поэтому \(L(-x) = -L(x)\), а её значения всегда строго лежат в интервале от −1 до 1. С ростом \(x\) результат стремится к +1 (или к −1 для больших отрицательных \(x\)), что соответствует полному выстраиванию диполей.
Разбор формулы
$$L(x) = \coth(x) - \frac{1}{x}$$ где \(\coth(x) = \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)} = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}\). При \(x = 0\) оба слагаемых обращаются в бесконечность, однако их разность имеет устранимую особенность, равную 0. Поскольку прямое вычитание двух больших чисел вблизи нуля приводит к катастрофической потере точности, при малых \(|x|\) калькулятор переходит к разложению в ряд Тейлора \(L(x) \approx \frac{x}{3} - \frac{x^3}{45} + \frac{2x^5}{945}\), что даёт известный наклон \(\frac{1}{3}\) в начале координат.
Пример расчёта
Для \(x = 1\): \(\cosh(1) = 1{,}5430806348\) и \(\sinh(1) = 1{,}1752011936\), поэтому \(\coth(1) = 1{,}3130352855\). Тогда $$L(1) = 1{,}3130352855 - 1 = 0{,}3130352855$$ Для малого аргумента \(x = 0{,}1\) ряд даёт \(\frac{0{,}1}{3} - \frac{0{,}001}{45} \approx 0{,}0333111\), что совпадает с прямым вычислением.
Частые вопросы
Почему \(L(0) = 0\)? И \(\coth(x)\), и \(\frac{1}{x}\) уходят в бесконечность при \(x = 0\), но взаимно компенсируются; предел их разности в точности равен 0, а функция возрастает линейно с наклоном \(\frac{1}{3}\).
Каков диапазон значений \(L(x)\)? Функция Ланжевена монотонно возрастает, а её область значений — интервал \((-1, 1)\); она приближается к асимптотам \(\pm 1\), но никогда их не достигает.
Как она связана с функцией Бриллюэна? Функция Бриллюэна \(B_J(x)\) сводится к функции Ланжевена в пределе \(J \to \infty\) — классическом случае непрерывного спина.
