ランジュバン関数とは
ランジュバン関数は \(L(x) = \coth(x) - \frac{1}{x}\) で定義されます。ここで \(\coth(x)\) は双曲線余接関数です。この関数は、ポール・ランジュバンによる古典的な常磁性理論の中で初めて登場し、外部磁場中で自由に回転する磁気双極子集団の平均磁化を表します。同じ関数は、誘電分極を扱うランジュバン・デバイ理論や、自由連結鎖（freely jointed chain）モデルにおける高分子鎖の統計力学にも現れ、鎖の伸びと加えた張力との関係を記述します。数学的には、ブリルアン関数において J を無限大にした極限がランジュバン関数になります。
この計算ツールの使い方
引数 \(x\) に任意の実数（正・負・ゼロのいずれでも可）を入力すると、\(L(x)\) の値が返されます。この関数は奇関数なので \(L(-x) = -L(x)\) が成り立ち、出力は常に -1 より大きく 1 より小さい範囲に収まります。\(x\) が大きくなるにつれて値は +1 に（\(x\) が大きな負の値のときは -1 に）漸近し、双極子が完全に整列した状態に対応します。
計算式の解説
$$L(x) = \coth(x) - \frac{1}{x}$$ であり、\(\coth(x) = \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)} = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}\) です。\(x = 0\) では両方の項が発散しますが、その差は除去可能な特異点を持ち、値は 0 になります。ただし、ゼロ付近で大きな2つの数を直接引き算すると桁落ち（catastrophic cancellation）が起こるため、本ツールでは \(|x|\) が極めて小さいときにテイラー展開 \(L(x) \approx \frac{x}{3} - \frac{x^3}{45} + \frac{2x^5}{945}\) に切り替えて計算します。これにより、原点での傾きがよく知られた \(\frac{1}{3}\) になることが確認できます。
計算例
\(x = 1\) のとき：\(\cosh(1) = 1.5430806348\)、\(\sinh(1) = 1.1752011936\) なので、\(\coth(1) = 1.3130352855\) となります。したがって $$L(1) = 1.3130352855 - 1 = 0.3130352855$$ です。小さな引数 \(x = 0.1\) の場合は、級数展開により \(\frac{0.1}{3} - \frac{0.001}{45} \approx 0.0333111\) となり、直接計算した結果と一致します。
よくある質問
なぜ \(L(0) = 0\) になるのですか？ \(\coth(x)\) と \(\frac{1}{x}\) はともに \(x = 0\) で発散しますが、両者が打ち消し合うため、その差の極限はちょうど 0 になります。関数は傾き \(\frac{1}{3}\) で原点から直線的に立ち上がります。
\(L(x)\) の値域はどうなっていますか？ ランジュバン関数は単調増加で、値域は \((-1, 1)\) です。漸近線 \(\pm 1\) に限りなく近づきますが、決して到達しません。
ブリルアン関数との関係は？ ブリルアン関数 \(B_J(x)\) は、J を無限大にした極限でランジュバン関数に帰着します。これはスピンを連続的に扱う古典的な場合に相当します。
