حاسبة دالة لانجفان

أدخل الحساب

x (متغيّر بلا أبعاد)

نتائج

دالة لانجفان L(x)

٠٫٣١٣٠٣٥٢٨٥٥

بلا أبعاد

المتغيّر x	١
الصيغة	L(x) = coth(x) − 1/x

ما هي دالة لانجفان؟

تُعرَّف دالة لانجفان بالعلاقة \(L(x) = \coth(x) - \frac{1}{x}\)، حيث \(\coth(x)\) هو ظل التمام الزائدي (الهذلولي). ظهرت هذه الدالة أول مرة في النظرية الكلاسيكية للمغناطيسية المسايرة التي وضعها بول لانجفان، إذ تصف متوسط المغنطة لمجموعة من ثنائيات الأقطاب المغناطيسية الحرة الدوران تحت تأثير مجال خارجي. وتظهر الدالة نفسها في نظرية لانجفان-ديباي للاستقطاب العازل، وفي الميكانيكا الإحصائية للسلاسل البوليمرية الحرة الوصلات، حيث تربط استطالة السلسلة بالشد المطبّق عليها. ورياضيًّا، هي الحالة الحدّية لدالة بريّوان عندما تؤول \(J\) إلى ما لا نهاية.

دالة لانجفين \(L(x)\) هي منحنى فردي على شكل حرف S يتشبّع نحو +1 و-1.

كيفية استخدام هذه الحاسبة

أدخل أي عدد حقيقي للمتغيّر \(x\) — سواء كان موجبًا أو سالبًا أو صفرًا — فتُعيد الحاسبة قيمة \(L(x)\). الدالة فردية، أي إن \(L(-x) = -L(x)\)، وتقع مخرجاتها دائمًا بين \(-1\) و\(1\) حصرًا. وكلما كبرت قيمة \(x\) اقتربت النتيجة من +1 (أو −1 للقيم السالبة الكبيرة)، وهو ما يعكس الاصطفاف التام لثنائيات الأقطاب.

شرح الصيغة

$$L(x) = \coth(x) - \frac{1}{x}$$ حيث \(\coth(x) = \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)} = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}\). عند \(x = 0\) ينطلق كلا الحدّين نحو اللانهاية، لكن الفرق بينهما له تفرّد قابل للإزالة قيمته 0. وبما أن طرح عددين كبيرين قرب الصفر يؤدي إلى إلغاء كارثي وفقدان للدقة، تنتقل هذه الأداة إلى متسلسلة تايلور \(L(x) \approx \frac{x}{3} - \frac{x^3}{45} + \frac{2x^5}{945}\) عندما تكون \(|x|\) صغيرة جدًّا، فتمنحنا الميل المعروف الذي يساوي \(\frac{1}{3}\) عند نقطة الأصل.

اعلان

بالقرب من نقطة الأصل تُقرَّب \(L(x)\) جيدًا بالميل الخطي \(\frac{x}{3}\).

مثال محلول

عند \(x = 1\): نجد \(\cosh(1) = 1.5430806348\) و\(\sinh(1) = 1.1752011936\)، ومنه \(\coth(1) = 1.3130352855\). وبالتالي $$L(1) = 1.3130352855 - 1 = 0.3130352855$$ أما بالنسبة لقيمة صغيرة مثل \(x = 0.1\)، فتعطي المتسلسلة \(\frac{0.1}{3} - \frac{0.001}{45} \approx 0.0333111\)، وهي قيمة مطابقة للحساب المباشر.

الأسئلة الشائعة

لماذا تكون \(L(0) = 0\)؟ ينطلق كل من \(\coth(x)\) و\(\frac{1}{x}\) نحو اللانهاية عند \(x = 0\)، لكنهما يلغي أحدهما الآخر؛ فيكون حد الفرق بينهما مساويًا للصفر تمامًا، مع ارتفاع الدالة خطيًّا بميل قدره \(\frac{1}{3}\).

ما هو مجال قيم \(L(x)\)؟ دالة لانجفان متزايدة باطّراد ومجال قيمها هو \((-1, 1)\)؛ فهي تقترب من الخطين المقاربين \(\pm 1\) لكنها لا تبلغهما أبدًا.

ما علاقتها بدالة بريّوان؟ تؤول دالة بريّوان \(B_J(x)\) إلى دالة لانجفان عندما تذهب \(J\) إلى ما لا نهاية، وهي حالة الدوران المستمر الكلاسيكية.