Koordinatlardan Üçgen Alanı Hesaplama nedir?
Bu araç, bir üçgenin üç köşesinin koordinatlarını bildiğinizde alanını hesaplar. Hesaplamada kayışbağı formülü (diğer adıyla Gauss alan formülü) kullanılır. Bu yöntem, koordinat düzleminde nerede olursa olsun her üçgen için çalışır; kenar uzunluklarını, yüksekliği veya açıları bilmenize gerek yoktur.
Nasıl kullanılır?
Üç köşenin her biri için (x, y) koordinatlarını girin: 1. nokta, 2. nokta ve 3. nokta. Hesaplayıcı, alanı kare birim cinsinden verir. Ayrıca işaretli alanı da gösterir: köşeler saat yönünün tersine sıralandığında bu değer pozitif, saat yönünde sıralandığında ise negatif olur.
Formülün açıklaması
Üç nokta için kayışbağı formülü şöyledir:
$$A = \tfrac{1}{2}\left| x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2) \right|$$
Her terim, bir köşenin koordinatını diğer iki köşenin y değerleri arasındaki farkla çapraz çarpar. Bu çarpımların toplamı işaretli alanın iki katına eşittir; mutlak değerini alıp yarıya bölünce, üçgenin yönünden bağımsız olarak gerçek alan elde edilir.
Çözümlü örnek
(1,1), (5,2) ve (3,8) köşelerini ele alalım:
$$\begin{aligned}&= \tfrac{1}{2}\left| 1\cdot(2-8) + 5\cdot(8-1) + 3\cdot(1-2) \right|\\&= \tfrac{1}{2}\left| 1\cdot(-6) + 5\cdot(7) + 3\cdot(-1) \right|\\&= \tfrac{1}{2}\left| -6 + 35 - 3 \right|\\&= \tfrac{1}{2}\left| 26 \right| = 13 \text{ kare birim.}\end{aligned}$$
Daha Fazla Çalışılmış Örnekler
Her örnek, üç köşeyi ayakkabı bağı formülüne yerleştirir. İşaretli alan ilk olarak hesaplanır (mutlak değer olmadan) ve gerçek alan bunun büyüklüğüdür.
Örnek 1 — Negatif koordinatlı üçgen
Köşeler: \(A(-3, -2)\), \(B(4, -1)\), \(C(1, 5)\). \(x_1=-3,\ y_1=-2,\ x_2=4,\ y_2=-1,\ x_3=1,\ y_3=5\) yerine konuyor:
$$\text{İşaretli} = \tfrac{1}{2}\big[\,-3(-1-5) + 4(5-(-2)) + 1(-2-(-1))\,\big]$$$$= \tfrac{1}{2}\big[\,-3(-6) + 4(7) + 1(-1)\,\big] = \tfrac{1}{2}\big[18 + 28 - 1\big] = \tfrac{45}{2} = 22.5$$İşaretli alan pozitiftir, bu nedenle köşeler saat yönünün tersine listelenmiştir. Alan 22.5 kare birimdir.
Örnek 2 — Saat yönü sırasında negatif işaretli alan verir
Aynı üçgeni alalım ancak köşeleri saat yönünde listeleyelim: \(A(-3, -2)\), \(C(1, 5)\), \(B(4, -1)\). Şimdi \(x_1=-3,\ y_1=-2,\ x_2=1,\ y_2=5,\ x_3=4,\ y_3=-1\):
$$\text{İşaretli} = \tfrac{1}{2}\big[\,-3(5-(-1)) + 1((-1)-(-2)) + 4((-2)-5)\,\big]$$$$= \tfrac{1}{2}\big[\,-3(6) + 1(1) + 4(-7)\,\big] = \tfrac{1}{2}\big[-18 + 1 - 28\big] = \tfrac{-45}{2} = -22.5$$İşaretli alan \(-22.5\) olur: negatif işaret noktaların saat yönünde sıralandığını söyler. Gerçek alan mutlak değerdir, \(|-22.5| = 22.5\) kare birim — Örnek 1 ile aynıdır, çünkü sıra üçgenin boyutunu değiştirmez.
Örnek 3 — Doğrusal noktalar alan 0 verir
Köşeler: \(P(0, 0)\), \(Q(2, 4)\), \(R(5, 10)\). Üçünün de \(y = 2x\) doğrusunda yer aldığını unutmayın. \(x_1=0,\ y_1=0,\ x_2=2,\ y_2=4,\ x_3=5,\ y_3=10\) yerine konuyor:
$$\text{Alan} = \tfrac{1}{2}\big|\,0(4-10) + 2(10-0) + 5(0-4)\,\big|$$$$= \tfrac{1}{2}\big|\,0 + 20 - 20\,\big| = \tfrac{1}{2}\,|0| = 0$$Alan 0 kare birim olup, üç noktanın doğrusal olduğunu ve kapalı bir üçgen oluşturmadığını doğrular.
Anahtar Terimler ve Değişkenler
- Köşe \((x, y)\)
- Üçgenin köşe noktası, yatay koordinatı \(x\) ve dikey koordinatı \(y\) ile verilen. Üç köşe \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\) ve \((x_3, y_3)\) olarak etiketlenir ve ayakkabı bağı formülünün ihtiyaç duyduğu tek girdilerdir.
- İşaretli alan
- Mutlak değer alınmadan önceki ayakkabı bağı ifadesinin sonucu. Büyüklüğü üçgenin alanına eşittir, ancak işareti köşelerin listelenme sırasını kodlar: saat yönünün tersine için pozitif, saat yönü için negatif.
- Saat yönünün tersine (SYT) yönelim
- Köşeler \((x_1,y_1)\to(x_2,y_2)\to(x_3,y_3)\) izinin sola döndüğü şekilde listelenir. Bu, standart \(xy\)-düzleminde pozitif işaretli alan üretir.
- Saat yönü (SY) yönelim
- Köşeler aynı izin sağa döndüğü şekilde listelenir. Bu, negatif işaretli alan üretir. Son alan (mutlak değer) değişmez, bu nedenle köşe sırası cevabın boyutunu asla etkilemez.
- Doğrusal noktalar
- Üç noktanın hepsi tek bir düz çizgi üzerinde yer alır. Hiçbir bölge çevrelemezler, bu nedenle ayakkabı bağı formülü işaretli alan ve tam olarak \(0\) alanı döndürür. Bu, doğrusallık için hızlı bir testtir.
- Kare birimler
- Alan birimleri. Koordinatlar metre cinsinden ölçülürse, alan kare metredir (m²); piksel cinsinden, kare piksel vb. Alan her zaman koordinatın uzunluk biriminin kare versiyonunü taşır.
Sıkça sorulan sorular
Noktaların sırası önemli mi? Alan için önemli değildir; mutlak değer alındığı için yön etkisi ortadan kalkar. Sıra yalnızca işaretli alanın işaretini değiştirir.
Alan 0 çıkarsa ne olur? Sıfır alan, üç noktanın aynı doğru üzerinde (doğrusal) olduğu anlamına gelir; bu durumda gerçek bir üçgen oluşmaz.
Negatif koordinat kullanabilir miyim? Evet. Formül, pozitif ya da negatif tüm gerçek koordinatlar için çalışır.
