座標から三角形の面積を求める計算機とは？
この計算機は、3つの頂点の座標がわかっていれば、どんな三角形でも面積を求められるツールです。計算には「靴ひも公式」（ガウスの面積公式とも呼ばれます）を使用しています。座標平面上のどこに置かれた三角形でも対応でき、辺の長さや高さ、角度を知る必要はありません。
使い方
3つの頂点（点1・点2・点3）について、それぞれの(x, y)座標を入力します。計算機が面積を平方単位で返します。あわせて「符号付き面積」も表示します。これは頂点を反時計回りに並べたときは正、時計回りに並べたときは負になります。
公式の解説
3点に対する靴ひも公式は次のとおりです。
$$A = \tfrac{1}{2}\left| x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2) \right|$$
各項では、ある頂点のx座標に、残り2点のy座標の差を掛け合わせます。この合計は符号付き面積の2倍に等しくなり、絶対値をとって半分にすることで、向きに関係なく正しい面積が得られます。
計算例
頂点を(1,1)、(5,2)、(3,8)とします。
$$\begin{aligned} &= \tfrac{1}{2}\left| 1\cdot(2-8) + 5\cdot(8-1) + 3\cdot(1-2) \right| \\ &= \tfrac{1}{2}\left| 1\cdot(-6) + 5\cdot(7) + 3\cdot(-1) \right| \\ &= \tfrac{1}{2}\left| -6 + 35 - 3 \right| \\ &= \tfrac{1}{2}\left| 26 \right| = 13 \text{ 平方単位} \end{aligned}$$
さらに詳しい例
各例では、3つの頂点をひもの公式に代入しています。符号付き面積を最初に計算し（絶対値なし）、真の面積はその大きさです。
例1 — 負の座標を持つ三角形
頂点：\(A(-3, -2)\)、\(B(4, -1)\)、\(C(1, 5)\)。\(x_1=-3,\ y_1=-2,\ x_2=4,\ y_2=-1,\ x_3=1,\ y_3=5\)を代入します：
$$\text{符号付き} = \tfrac{1}{2}\big[\,-3(-1-5) + 4(5-(-2)) + 1(-2-(-1))\,\big]$$$$= \tfrac{1}{2}\big[\,-3(-6) + 4(7) + 1(-1)\,\big] = \tfrac{1}{2}\big[18 + 28 - 1\big] = \tfrac{45}{2} = 22.5$$符号付き面積は正なので、頂点は反時計回りにリストされています。面積は22.5平方単位です。
例2 — 時計回りの順序は負の符号付き面積を与える
同じ三角形を取りますが、頂点を時計回りにリストします：\(A(-3, -2)\)、\(C(1, 5)\)、\(B(4, -1)\)。今、\(x_1=-3,\ y_1=-2,\ x_2=1,\ y_2=5,\ x_3=4,\ y_3=-1\)です：
$$\text{符号付き} = \tfrac{1}{2}\big[\,-3(5-(-1)) + 1((-1)-(-2)) + 4((-2)-5)\,\big]$$$$= \tfrac{1}{2}\big[\,-3(6) + 1(1) + 4(-7)\,\big] = \tfrac{1}{2}\big[-18 + 1 - 28\big] = \tfrac{-45}{2} = -22.5$$符号付き面積は\(-22.5\)です：負の符号は点が時計回りに順序付けられていることを示しています。実際の面積は絶対値である\(|-22.5| = 22.5\)平方単位です — 例1と同じです。なぜなら順序は三角形のサイズを変えないからです。
例3 — 一直線上の点は面積0を与える
頂点：\(P(0, 0)\)、\(Q(2, 4)\)、\(R(5, 10)\)。3つすべてが直線\(y = 2x\)上にあることに注意してください。\(x_1=0,\ y_1=0,\ x_2=2,\ y_2=4,\ x_3=5,\ y_3=10\)を代入します：
$$\text{面積} = \tfrac{1}{2}\big|\,0(4-10) + 2(10-0) + 5(0-4)\,\big|$$$$= \tfrac{1}{2}\big|\,0 + 20 - 20\,\big| = \tfrac{1}{2}\,|0| = 0$$面積は0平方単位であり、3つの点が一直線上にあり、閉じた三角形を形成していないことを確認します。
主な用語と変数
- 頂点\((x, y)\)
- 三角形の角の点で、水平座標\(x\)と垂直座標\(y\)で与えられます。3つの頂点は\((x_1, y_1)\)、\((x_2, y_2)\)、\((x_3, y_3)\)とラベルされ、ひもの公式が必要とする唯一の入力です。
- 符号付き面積
- 絶対値を取る前のひもの式の結果です。その大きさは三角形の面積に等しく、その符号は頂点がリストされた順序をエンコードします：反時計回りの場合は正、時計回りの場合は負。
- 反時計回り（CCW）の向き
- \((x_1,y_1)\to(x_2,y_2)\to(x_3,y_3)\)をトレースするときに左に曲がるようにリストされた頂点。これは標準的な\(xy\)平面で正の符号付き面積を生成します。
- 時計回り（CW）の向き
- 同じトレースが右に曲がるようにリストされた頂点。これは負の符号付き面積を生成します。最終的な面積（絶対値）は変わらないため、頂点の順序が答えのサイズに影響することはありません。
- 一直線上の点
- 1本の直線上すべてに位置する3つの点です。領域を囲まないため、ひもの公式は符号付き面積とちょうど\(0\)の面積を返します。これは一直線性の簡単なテストです。
- 平方単位
- 面積の単位です。座標がメートルで測定される場合、面積は平方メートル（m²）であり、ピクセルでは平方ピクセルというように。面積は常に座標の長さ単位の2乗バージョンを持ちます。
よくある質問
点を入力する順番は影響しますか？ 面積そのものには影響しません。絶対値をとるため、向きは打ち消されます。順番が変わるのは符号付き面積の符号だけです。
面積が0になった場合は？ 面積が0になるのは、3点が一直線上に並んでいる（共線である）ことを意味します。この場合は三角形を形成しません。
負の座標は使えますか？ はい、使えます。この公式は正・負を問わず、あらゆる実数の座標で機能します。
