Qu'est-ce que le calculateur d'aire d'un triangle par coordonnées ?
Ce calculateur détermine l'aire de n'importe quel triangle dès lors que vous connaissez les coordonnées de ses trois sommets. Il s'appuie sur la formule du lacet (aussi appelée formule de l'aire de Gauss), qui fonctionne pour des triangles situés n'importe où dans le plan cartésien — inutile de connaître la longueur des côtés, les hauteurs ou les angles.
Comment l'utiliser
Saisissez les coordonnées (x, y) de chacun des trois sommets : point 1, point 2 et point 3. Le calculateur renvoie l'aire exprimée en unités carrées. Il affiche également l'aire algébrique, positive lorsque les sommets sont énumérés dans le sens antihoraire et négative lorsqu'ils le sont dans le sens horaire.
La formule expliquée
La formule du lacet pour trois points s'écrit :
$$A = \tfrac{1}{2}\left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right|$$Chaque terme multiplie en croix la coordonnée d'un sommet par la différence des deux autres ordonnées (valeurs de y). La somme correspond au double de l'aire algébrique ; en prenant la valeur absolue puis en divisant par deux, on obtient l'aire réelle, quelle que soit l'orientation.
Exemple résolu
Prenons les sommets (1,1), (5,2) et (3,8) :
$$\begin{aligned}&= \tfrac{1}{2}\left| 1\cdot(2-8) + 5\cdot(8-1) + 3\cdot(1-2) \right|\\&= \tfrac{1}{2}\left| 1\cdot(-6) + 5\cdot(7) + 3\cdot(-1) \right|\\&= \tfrac{1}{2}\left| -6 + 35 - 3 \right|\\&= \tfrac{1}{2}\left| 26 \right| = 13 \text{ unités carrées.}\end{aligned}$$Plus d'exemples résolus
Chaque exemple substitue les trois sommets dans la formule du lacet. L'aire signée est d'abord calculée (sans la valeur absolue), et la vraie aire est sa magnitude.
Exemple 1 — Triangle avec coordonnées négatives
Sommets : \(A(-3, -2)\), \(B(4, -1)\), \(C(1, 5)\). En substituant \(x_1=-3,\ y_1=-2,\ x_2=4,\ y_2=-1,\ x_3=1,\ y_3=5\) :
$$\text{Signée} = \tfrac{1}{2}\big[\,-3(-1-5) + 4(5-(-2)) + 1(-2-(-1))\,\big]$$$$= \tfrac{1}{2}\big[\,-3(-6) + 4(7) + 1(-1)\,\big] = \tfrac{1}{2}\big[18 + 28 - 1\big] = \tfrac{45}{2} = 22,5$$L'aire signée est positive, donc les sommets sont listés dans le sens antihoraire. L'aire est 22,5 unités carrées.
Exemple 2 — L'ordre horaire donne une aire signée négative
Prenez le même triangle mais listez les sommets dans le sens horaire : \(A(-3, -2)\), \(C(1, 5)\), \(B(4, -1)\). Maintenant \(x_1=-3,\ y_1=-2,\ x_2=1,\ y_2=5,\ x_3=4,\ y_3=-1\) :
$$\text{Signée} = \tfrac{1}{2}\big[\,-3(5-(-1)) + 1((-1)-(-2)) + 4((-2)-5)\,\big]$$$$= \tfrac{1}{2}\big[\,-3(6) + 1(1) + 4(-7)\,\big] = \tfrac{1}{2}\big[-18 + 1 - 28\big] = \tfrac{-45}{2} = -22,5$$L'aire signée est \(-22,5\) : le signe négatif nous indique que les points sont ordonnés dans le sens horaire. L'aire réelle est la valeur absolue, \(|-22,5| = 22,5\) unités carrées — identique à l'exemple 1, car l'ordre ne change pas la taille du triangle.
Exemple 3 — Les points colinéaires donnent une aire 0
Sommets : \(P(0, 0)\), \(Q(2, 4)\), \(R(5, 10)\). Notez que les trois se trouvent sur la ligne \(y = 2x\). En substituant \(x_1=0,\ y_1=0,\ x_2=2,\ y_2=4,\ x_3=5,\ y_3=10\) :
$$\text{Aire} = \tfrac{1}{2}\big|\,0(4-10) + 2(10-0) + 5(0-4)\,\big|$$$$= \tfrac{1}{2}\big|\,0 + 20 - 20\,\big| = \tfrac{1}{2}\,|0| = 0$$L'aire est 0 unités carrées, confirmant que les trois points sont colinéaires et ne forment pas de triangle fermé.
Termes clés et variables
- Sommet \((x, y)\)
- Un point de coin du triangle, donné par sa coordonnée horizontale \(x\) et sa coordonnée verticale \(y\). Les trois sommets sont étiquetés \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\) et \((x_3, y_3)\) et sont les seules entrées dont la formule du lacet a besoin.
- Aire signée
- Le résultat de l'expression du lacet avant de prendre la valeur absolue. Sa magnitude égale l'aire du triangle, tandis que son signe encode l'ordre dans lequel les sommets ont été listés : positif pour le sens antihoraire, négatif pour le sens horaire.
- Orientation antihoraire (sens positif)
- Sommets listés de sorte que la trace \((x_1,y_1)\to(x_2,y_2)\to(x_3,y_3)\) tourne vers la gauche. Cela produit une aire signée positive dans un plan \(xy\) standard.
- Orientation horaire (sens négatif)
- Sommets listés de sorte que la même trace tourne vers la droite. Cela produit une aire signée négative. L'aire finale (valeur absolue) est inchangée, donc l'ordre des sommets n'affecte jamais la taille de la réponse.
- Points colinéaires
- Trois points qui se trouvent tous sur une seule ligne droite. Ils n'enferment aucune région, donc la formule du lacet retourne une aire signée et une aire exactement égale à \(0\). C'est un test rapide pour la colinéarité.
- Unités carrées
- Les unités d'aire. Si les coordonnées sont mesurées en mètres, l'aire est en mètres carrés (m²) ; en pixels, en pixels carrés, etc. L'aire porte toujours la version au carré de l'unité de longueur de la coordonnée.
Questions fréquentes
L'ordre des points a-t-il une importance ? Pas pour l'aire : la valeur absolue gomme l'orientation. L'ordre ne change que le signe de l'aire algébrique.
Que signifie une aire égale à 0 ? Une aire nulle indique que les trois points sont alignés (ils se trouvent sur une même droite) et ne forment donc pas un véritable triangle.
Puis-je utiliser des coordonnées négatives ? Oui. La formule fonctionne pour toutes les coordonnées réelles, qu'elles soient positives ou négatives.
