حاسبة مساحة المثلث من الإحداثيات

أدخل الحساب

x₁

y₁

x₂

y₂

x₃

y₃

نتائج

مساحة المثلث

٦

وحدة مربعة

المساحة الموجَّهة	٦
الطريقة	صيغة رباط الحذاء

ما هي حاسبة مساحة المثلث من الإحداثيات؟

تحسب هذه الأداة مساحة أي مثلث متى عرفت إحداثيات رؤوسه الثلاثة. وتعتمد على صيغة رباط الحذاء (المعروفة أيضًا بصيغة غاوس للمساحة)، التي تصلح للمثلثات الواقعة في أي موضع على المستوى الإحداثي — دون الحاجة إلى معرفة أطوال الأضلاع أو الارتفاعات أو الزوايا.

طريقة الاستخدام

أدخل الإحداثيين (x، y) لكل رأس من الرؤوس الثلاثة: النقطة 1، والنقطة 2، والنقطة 3. تعيد الحاسبة المساحة بالوحدات المربعة. كما تعرض المساحة الموجَّهة، وتكون موجبة عندما تُرتَّب الرؤوس عكس عقارب الساعة، وسالبة عندما تُرتَّب في اتجاه عقارب الساعة.

شرح الصيغة

صيغة رباط الحذاء لثلاث نقاط هي:

$$A = \tfrac{1}{2}\left| x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2) \right|$$

يضرب كل حدّ تقاطعيًا أحد إحداثيات رأس مع فرق القيمتين y للرأسين الآخرين. ومجموع الحدود يساوي ضعف المساحة الموجَّهة؛ وبأخذ القيمة المطلقة وقسمتها على اثنين نحصل على المساحة الحقيقية بصرف النظر عن اتجاه ترتيب الرؤوس.

نمط الأقطار المتقاطعة الذي منح طريقة رباط الحذاء اسمها.

تستخدم صيغة رباط الحذاء إحداثيات (x، y) للرؤوس الثلاثة.

مثال محلول

لنأخذ الرؤوس (1,1) و(5,2) و(3,8):

$$\begin{aligned} &= \tfrac{1}{2} \left| 1\cdot(2-8) + 5\cdot(8-1) + 3\cdot(1-2) \right| \\ &= \tfrac{1}{2} \left| 1\cdot(-6) + 5\cdot(7) + 3\cdot(-1) \right| \\ &= \tfrac{1}{2} \left| -6 + 35 - 3 \right| \\ &= \tfrac{1}{2} \left| 26 \right| = 13 \text{ وحدة مربعة.} \end{aligned}$$

أمثلة عملية إضافية

كل مثال يعوّض الرؤوس الثلاثة في صيغة الحذاء. يتم حساب المساحة الموقّعة أولاً (بدون القيمة المطلقة)، والمساحة الحقيقية هي قيمتها المطلقة.

المثال 1 — مثلث بإحداثيات سالبة

الرؤوس: \(A(-3, -2)\), \(B(4, -1)\), \(C(1, 5)\). بالتعويض \(x_1=-3,\ y_1=-2,\ x_2=4,\ y_2=-1,\ x_3=1,\ y_3=5\):

$$\text{الموقّعة} = \tfrac{1}{2}\big[\,-3(-1-5) + 4(5-(-2)) + 1(-2-(-1))\,\big]$$$$= \tfrac{1}{2}\big[\,-3(-6) + 4(7) + 1(-1)\,\big] = \tfrac{1}{2}\big[18 + 28 - 1\big] = \tfrac{45}{2} = 22.5$$

المساحة الموقّعة موجبة، لذلك يتم سرد الرؤوس عكس اتجاه عقارب الساعة. المساحة هي 22.5 وحدة مربعة.

المثال 2 — الترتيب في اتجاه عقارب الساعة يعطي مساحة موقّعة سالبة

خذ المثلث نفسه لكن سرّد الرؤوس في اتجاه عقارب الساعة: \(A(-3, -2)\), \(C(1, 5)\), \(B(4, -1)\). الآن \(x_1=-3,\ y_1=-2,\ x_2=1,\ y_2=5,\ x_3=4,\ y_3=-1\):

$$\text{الموقّعة} = \tfrac{1}{2}\big[\,-3(5-(-1)) + 1((-1)-(-2)) + 4((-2)-5)\,\big]$$$$= \tfrac{1}{2}\big[\,-3(6) + 1(1) + 4(-7)\,\big] = \tfrac{1}{2}\big[-18 + 1 - 28\big] = \tfrac{-45}{2} = -22.5$$

المساحة الموقّعة هي \(-22.5\): الإشارة السالبة تخبرنا أن النقاط مرتبة في اتجاه عقارب الساعة. المساحة الفعلية هي القيمة المطلقة، \(|-22.5| = 22.5\) وحدة مربعة — مطابقة للمثال 1، لأن الترتيب لا يغيّر حجم المثلث.

المثال 3 — النقاط المتخطية تعطي مساحة 0

الرؤوس: \(P(0, 0)\), \(Q(2, 4)\), \(R(5, 10)\). لاحظ أن الثلاثة تقع جميعها على الخط \(y = 2x\). بالتعويض \(x_1=0,\ y_1=0,\ x_2=2,\ y_2=4,\ x_3=5,\ y_3=10\):

$$\text{المساحة} = \tfrac{1}{2}\big|\,0(4-10) + 2(10-0) + 5(0-4)\,\big|$$$$= \tfrac{1}{2}\big|\,0 + 20 - 20\,\big| = \tfrac{1}{2}\,|0| = 0$$

المساحة هي 0 وحدة مربعة، مما يؤكد أن النقاط الثلاث متخطية وتشكّل مثلثاً غير محصور.

المصطلحات الرئيسية والمتغيرات

الرأس \((x, y)\)

نقطة زاوية في المثلث، معطاة بإحداثيها الأفقي \(x\) والعمودي \(y\). يُسمّى الرؤوس الثلاثة \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\)، و\((x_3, y_3)\) وهي المدخلات الوحيدة التي تحتاجها صيغة الحذاء.

المساحة الموقّعة

نتيجة تعبير الحذاء قبل أخذ القيمة المطلقة. قيمتها المطلقة تساوي مساحة المثلث، بينما تشفّر الإشارة ترتيب سرد الرؤوس: موجبة لعكس اتجاه عقارب الساعة، سالبة لاتجاه عقارب الساعة.

اتجاه عكس عقارب الساعة (CCW)

رؤوس مسردة بحيث يؤدي التتبع \((x_1,y_1)\to(x_2,y_2)\to(x_3,y_3)\) إلى الدوران لليسار. هذا ينتج عنه مساحة موقّعة موجبة في مستوى \(xy\) قياسي.

اتجاه عقارب الساعة (CW)

رؤوس مسردة بحيث ينحني التتبع نفسه لليمين. هذا ينتج عنه مساحة موقّعة سالبة. المساحة النهائية (القيمة المطلقة) لا تتغير، لذلك ترتيب الرؤوس لا يؤثر أبداً على حجم الإجابة.

نقاط متخطية

ثلاث نقاط تقع جميعها على خط مستقيم واحد. إنها لا تحصر أي منطقة، لذا تعيد صيغة الحذاء مساحة موقّعة ومساحة تساوي \(0\) بالضبط. هذا اختبار سريع للتخطي.

وحدة مربعة

وحدات المساحة. إذا تم قياس الإحداثيات بالأمتار، فإن المساحة تكون بالمتر المربع (م²)؛ بالبكسل، بكسل مربع، وهكذا. تحمل المساحة دائماً النسخة المربعة من وحدة طول الإحداثي.

الأسئلة الشائعة

هل يهم ترتيب النقاط؟ لا يؤثر في المساحة — فالقيمة المطلقة تلغي أثر الاتجاه. الترتيب يغيّر فقط إشارة المساحة الموجَّهة.

ماذا لو كانت المساحة تساوي 0؟ المساحة الصفرية تعني أن النقاط الثلاث واقعة على استقامة واحدة (على خط مستقيم واحد) ولا تشكّل مثلثًا حقيقيًا.

هل يمكنني استخدام إحداثيات سالبة؟ نعم. تعمل الصيغة مع أي إحداثيات حقيقية، موجبة كانت أم سالبة.