Công cụ tính diện tích tam giác theo tọa độ là gì?
Công cụ này giúp bạn tính diện tích của bất kỳ tam giác nào khi đã biết tọa độ ba đỉnh. Nó áp dụng công thức Shoelace (còn gọi là công thức Gauss tính diện tích), phù hợp với tam giác nằm ở bất cứ vị trí nào trên mặt phẳng tọa độ — bạn không cần biết độ dài cạnh, chiều cao hay số đo góc.
Cách sử dụng
Bạn chỉ cần nhập tọa độ (x, y) cho từng đỉnh trong ba đỉnh: điểm 1, điểm 2 và điểm 3. Công cụ sẽ trả về diện tích theo đơn vị vuông. Ngoài ra, kết quả còn hiển thị diện tích có dấu: giá trị dương khi các đỉnh được liệt kê ngược chiều kim đồng hồ và âm khi liệt kê theo chiều kim đồng hồ.
Giải thích công thức
Công thức Shoelace cho ba điểm như sau:
$$A = \tfrac{1}{2}\left| x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2) \right|$$
Mỗi số hạng nhân chéo một tọa độ của một đỉnh với hiệu của hai giá trị y còn lại. Tổng này bằng hai lần diện tích có dấu; khi lấy giá trị tuyệt đối rồi chia đôi, ta được diện tích thật của tam giác bất kể chiều liệt kê các đỉnh.
Ví dụ minh họa
Lấy ba đỉnh (1,1), (5,2) và (3,8):
$$\begin{aligned}&= \tfrac{1}{2}\left| 1\cdot(2-8) + 5\cdot(8-1) + 3\cdot(1-2) \right|\\&= \tfrac{1}{2}\left| 1\cdot(-6) + 5\cdot(7) + 3\cdot(-1) \right|\\&= \tfrac{1}{2}\left| -6 + 35 - 3 \right|\\&= \tfrac{1}{2}\left| 26 \right| = 13 \text{ đơn vị vuông.}\end{aligned}$$
Các ví dụ được giải chi tiết hơn
Mỗi ví dụ thay thế ba đỉnh vào công thức dây giày. Diện tích có dấu được tính trước (không có giá trị tuyệt đối), và diện tích thực là độ lớn của nó.
Ví dụ 1 — Tam giác với tọa độ âm
Các đỉnh: \(A(-3, -2)\), \(B(4, -1)\), \(C(1, 5)\). Thay thế \(x_1=-3,\ y_1=-2,\ x_2=4,\ y_2=-1,\ x_3=1,\ y_3=5\):
$$\text{Có dấu} = \tfrac{1}{2}\big[\,-3(-1-5) + 4(5-(-2)) + 1(-2-(-1))\,\big]$$$$= \tfrac{1}{2}\big[\,-3(-6) + 4(7) + 1(-1)\,\big] = \tfrac{1}{2}\big[18 + 28 - 1\big] = \tfrac{45}{2} = 22.5$$Diện tích có dấu là dương, do đó các đỉnh được liệt kê ngược chiều kim đồng hồ. Diện tích là 22.5 đơn vị vuông.
Ví dụ 2 — Thứ tự theo chiều kim đồng hồ cho diện tích có dấu âm
Lấy cùng một tam giác nhưng liệt kê các đỉnh theo chiều kim đồng hồ: \(A(-3, -2)\), \(C(1, 5)\), \(B(4, -1)\). Bây giờ \(x_1=-3,\ y_1=-2,\ x_2=1,\ y_2=5,\ x_3=4,\ y_3=-1\):
$$\text{Có dấu} = \tfrac{1}{2}\big[\,-3(5-(-1)) + 1((-1)-(-2)) + 4((-2)-5)\,\big]$$$$= \tfrac{1}{2}\big[\,-3(6) + 1(1) + 4(-7)\,\big] = \tfrac{1}{2}\big[-18 + 1 - 28\big] = \tfrac{-45}{2} = -22.5$$Diện tích có dấu là \(-22.5\): dấu âm cho biết các điểm được sắp xếp theo chiều kim đồng hồ. Diện tích thực là giá trị tuyệt đối, \(|-22.5| = 22.5\) đơn vị vuông — giống với Ví dụ 1, vì thứ tự không thay đổi kích thước của tam giác.
Ví dụ 3 — Các điểm thẳng hàng cho diện tích 0
Các đỉnh: \(P(0, 0)\), \(Q(2, 4)\), \(R(5, 10)\). Lưu ý rằng cả ba đều nằm trên đường thẳng \(y = 2x\). Thay thế \(x_1=0,\ y_1=0,\ x_2=2,\ y_2=4,\ x_3=5,\ y_3=10\):
$$\text{Diện tích} = \tfrac{1}{2}\big|\,0(4-10) + 2(10-0) + 5(0-4)\,\big|$$$$= \tfrac{1}{2}\big|\,0 + 20 - 20\,\big| = \tfrac{1}{2}\,|0| = 0$$Diện tích là 0 đơn vị vuông, xác nhận ba điểm thẳng hàng và không tạo thành tam giác kín.
Các thuật ngữ chính & Biến số
- Đỉnh \((x, y)\)
- Một điểm góc của tam giác, được cho bởi tọa độ ngang của nó \(x\) và tọa độ dọc của nó \(y\). Ba đỉnh được ký hiệu là \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\), và \((x_3, y_3)\) và là những đầu vào duy nhất mà công thức dây giày cần.
- Diện tích có dấu
- Kết quả của biểu thức dây giày trước khi lấy giá trị tuyệt đối. Độ lớn của nó bằng diện tích của tam giác, trong khi dấu của nó mã hóa thứ tự mà các đỉnh được liệt kê: dương cho ngược chiều kim đồng hồ, âm cho theo chiều kim đồng hồ.
- Định hướng ngược chiều kim đồng hồ (CCW)
- Các đỉnh được liệt kê sao cho việc theo dõi \((x_1,y_1)\to(x_2,y_2)\to(x_3,y_3)\) quay sang trái. Điều này tạo ra một diện tích có dấu dương trong mặt phẳng \(xy\) tiêu chuẩn.
- Định hướng theo chiều kim đồng hồ (CW)
- Các đỉnh được liệt kê sao cho việc theo dõi tương tự quay sang phải. Điều này tạo ra một diện tích có dấu âm. Diện tích cuối cùng (giá trị tuyệt đối) không thay đổi, do đó thứ tự của đỉnh không bao giờ ảnh hưởng đến kích thước của câu trả lời.
- Các điểm thẳng hàng
- Ba điểm đều nằm trên một đường thẳng duy nhất. Chúng không bao quanh bất kỳ vùng nào, vì vậy công thức dây giày trả về một diện tích có dấu và một diện tích chính xác bằng \(0\). Đây là một kiểm tra nhanh chóng cho tính thẳng hàng.
- Đơn vị vuông
- Các đơn vị của diện tích. Nếu tọa độ được đo bằng mét, diện tích là tính bằng mét vuông (m²); tính bằng pixel, pixel vuông, v.v. Diện tích luôn mang theo phiên bản bình phương của đơn vị độ dài của tọa độ.
Câu hỏi thường gặp
Thứ tự các điểm có quan trọng không? Không quan trọng với diện tích — vì giá trị tuyệt đối đã loại bỏ yếu tố chiều. Thứ tự chỉ làm thay đổi dấu của diện tích có dấu.
Nếu diện tích bằng 0 thì sao? Diện tích bằng 0 nghĩa là ba điểm thẳng hàng (cùng nằm trên một đường thẳng) và không tạo thành một tam giác thực sự.
Tôi có thể dùng tọa độ âm không? Có. Công thức hoạt động với mọi tọa độ thực, dù dương hay âm.
