什麼是座標求三角形面積計算機？
只要知道三角形三個頂點的座標，這個計算機就能算出它的面積。它採用「鞋帶公式」（又稱高斯面積公式），不論三角形位在座標平面上的哪個位置都適用——你完全不需要知道邊長、高或任何角度。
使用方法
分別輸入三個頂點的 (x, y) 座標：點 1、點 2 與點 3。計算機會回傳以平方單位表示的面積，同時顯示「帶符號面積」：當頂點以逆時針順序排列時為正值，順時針排列時則為負值。
公式說明
三點版本的鞋帶公式如下：
$$A = \tfrac{1}{2}\left| x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2) \right|$$
每一項都是用某個頂點的座標，去乘上另外兩個頂點 y 值的差，再相加。這個總和等於帶符號面積的兩倍；取絕對值再除以二，無論頂點排列方向如何，都能得到真正的面積。
範例演算
以頂點 (1,1)、(5,2) 與 (3,8) 為例：
$$\begin{aligned} &= \tfrac{1}{2}\left| 1\cdot(2-8) + 5\cdot(8-1) + 3\cdot(1-2) \right| \\ &= \tfrac{1}{2}\left| 1\cdot(-6) + 5\cdot(7) + 3\cdot(-1) \right| \\ &= \tfrac{1}{2}\left| -6 + 35 - 3 \right| \\ &= \tfrac{1}{2}\left| 26 \right| = 13 \text{ 平方單位} \end{aligned}$$
更多做過的例題
每個例題都將三個頂點代入鞋帶公式。先計算有向面積（不含絕對值），真實面積是其大小。
例題 1 — 含負坐標的三角形
頂點：\(A(-3, -2)\)、\(B(4, -1)\)、\(C(1, 5)\)。代入 \(x_1=-3,\ y_1=-2,\ x_2=4,\ y_2=-1,\ x_3=1,\ y_3=5\)：
$$\text{有向面積} = \tfrac{1}{2}\big[\,-3(-1-5) + 4(5-(-2)) + 1(-2-(-1))\,\big]$$$$= \tfrac{1}{2}\big[\,-3(-6) + 4(7) + 1(-1)\,\big] = \tfrac{1}{2}\big[18 + 28 - 1\big] = \tfrac{45}{2} = 22.5$$有向面積為正，所以頂點按逆時針列出。面積為22.5 平方單位。
例題 2 — 順時針順序產生負有向面積
取相同的三角形但以順時針列出頂點：\(A(-3, -2)\)、\(C(1, 5)\)、\(B(4, -1)\)。現在 \(x_1=-3,\ y_1=-2,\ x_2=1,\ y_2=5,\ x_3=4,\ y_3=-1\)：
$$\text{有向面積} = \tfrac{1}{2}\big[\,-3(5-(-1)) + 1((-1)-(-2)) + 4((-2)-5)\,\big]$$$$= \tfrac{1}{2}\big[\,-3(6) + 1(1) + 4(-7)\,\big] = \tfrac{1}{2}\big[-18 + 1 - 28\big] = \tfrac{-45}{2} = -22.5$$有向面積為 \(-22.5\)：負號告訴我們點按順時針排列。實際面積是絕對值，\(|-22.5| = 22.5\) 平方單位 — 與例題 1 相同，因為順序不改變三角形的大小。
例題 3 — 共線點給出面積 0
頂點：\(P(0, 0)\)、\(Q(2, 4)\)、\(R(5, 10)\)。注意所有三點都在直線 \(y = 2x\) 上。代入 \(x_1=0,\ y_1=0,\ x_2=2,\ y_2=4,\ x_3=5,\ y_3=10\)：
$$\text{面積} = \tfrac{1}{2}\big|\,0(4-10) + 2(10-0) + 5(0-4)\,\big|$$$$= \tfrac{1}{2}\big|\,0 + 20 - 20\,\big| = \tfrac{1}{2}\,|0| = 0$$面積為0 平方單位，確認三點共線且不構成任何封閉三角形。
關鍵術語和變數
- 頂點 \((x, y)\)
- 三角形的角點，由其水平座標 \(x\) 和垂直座標 \(y\) 給出。三個頂點標記為 \((x_1, y_1)\)、\((x_2, y_2)\) 和 \((x_3, y_3)\)，是鞋帶公式所需的唯一輸入。
- 有向面積
- 鞋帶表達式的結果，未取絕對值。其大小等於三角形的面積，而其符號編碼了頂點列出的順序：逆時針為正，順時針為負。
- 逆時針 (CCW) 方向
- 頂點列出使得跟蹤 \((x_1,y_1)\to(x_2,y_2)\to(x_3,y_3)\) 向左轉。在標準 \(xy\) 平面中產生正有向面積。
- 順時針 (CW) 方向
- 頂點列出使得相同跟蹤向右轉。產生負有向面積。最終面積（絕對值）不變，所以頂點順序從不影響答案的大小。
- 共線點
- 全部位於一條直線上的三個點。它們不封閉任何區域，所以鞋帶公式返回有向面積和恰好 \(0\) 的面積。這是共線性的快速檢驗。
- 平方單位
- 面積的單位。如果座標以米測量，面積為平方米 (m²)；以像素測量，為平方像素，以此類推。面積總是攜帶座標長度單位的平方版本。
常見問題
頂點的排列順序會影響結果嗎？對面積沒有影響——絕對值已經消除了方向性。順序只會改變「帶符號面積」的正負號。
如果算出來的面積是 0 怎麼辦？面積為 0 代表這三點共線（落在同一條直線上），並無法構成真正的三角形。
可以使用負座標嗎？可以。不論座標是正是負，這個公式對任何實數座標都適用。
