좌표를 이용한 삼각형 넓이 계산기

계산 입력

x₁

y₁

x₂

y₂

x₃

y₃

결과

삼각형 넓이

6

제곱 단위

부호 있는 넓이	6
계산 방법	신발끈 공식

좌표 삼각형 넓이 계산기란?

이 계산기는 세 꼭짓점의 좌표만 알면 어떤 삼각형이든 넓이를 구해 줍니다. 신발끈 공식(가우스 넓이 공식이라고도 합니다)을 사용하기 때문에 좌표평면 위 어디에 놓인 삼각형이든 계산할 수 있습니다. 변의 길이나 높이, 각도를 따로 알 필요가 없습니다.

사용 방법

세 꼭짓점 각각의 \((x, y)\) 좌표를 점 1, 점 2, 점 3에 입력하세요. 계산기는 제곱 단위로 넓이를 알려 줍니다. 또한 부호 있는 넓이도 함께 보여 주는데, 꼭짓점을 반시계 방향으로 나열하면 양수, 시계 방향으로 나열하면 음수가 됩니다.

공식 풀이

세 점에 대한 신발끈 공식은 다음과 같습니다.

$$A = \tfrac{1}{2}\left| x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2) \right|$$

각 항은 한 꼭짓점의 좌표와 나머지 두 점의 y값 차이를 곱한 값입니다. 이 합은 부호 있는 넓이의 두 배가 되며, 절댓값을 취한 뒤 반으로 나누면 방향과 관계없이 실제 넓이를 얻을 수 있습니다.

신발끈 방법이라는 이름을 만든 엇갈리는 대각선 패턴.

신발끈 공식은 세 꼭짓점의 \((x, y)\) 좌표를 사용합니다.

계산 예시

꼭짓점이 \((1,1)\), \((5,2)\), \((3,8)\)인 경우를 살펴봅시다.

$$\begin{aligned} &= \tfrac{1}{2} \left| 1\cdot(2-8) + 5\cdot(8-1) + 3\cdot(1-2) \right| \\ &= \tfrac{1}{2} \left| 1\cdot(-6) + 5\cdot(7) + 3\cdot(-1) \right| \\ &= \tfrac{1}{2} \left| -6 + 35 - 3 \right| \\ &= \tfrac{1}{2} \left| 26 \right| = 13 \text{ 제곱 단위.} \end{aligned}$$

더 많은 풀이 예제

각 예제는 세 꼭짓점을 신발끈 공식에 대입합니다. 부호있는 넓이를 먼저 계산한 후(절댓값 없이), 참 넓이는 그 크기입니다.

예제 1 — 음수 좌표를 가진 삼각형

꼭짓점: \(A(-3, -2)\), \(B(4, -1)\), \(C(1, 5)\). \(x_1=-3,\ y_1=-2,\ x_2=4,\ y_2=-1,\ x_3=1,\ y_3=5\)를 대입하면:

$$\text{부호있는 넓이} = \tfrac{1}{2}\big[\,-3(-1-5) + 4(5-(-2)) + 1(-2-(-1))\,\big]$$$$= \tfrac{1}{2}\big[\,-3(-6) + 4(7) + 1(-1)\,\big] = \tfrac{1}{2}\big[18 + 28 - 1\big] = \tfrac{45}{2} = 22.5$$

부호있는 넓이가 양수이므로, 꼭짓점이 반시계 방향으로 나열되어 있습니다. 넓이는 22.5 제곱단위입니다.

예제 2 — 시계 방향 순서는 음수 부호있는 넓이를 줍니다

같은 삼각형을 시계 방향으로 꼭짓점을 나열합니다: \(A(-3, -2)\), \(C(1, 5)\), \(B(4, -1)\). 이제 \(x_1=-3,\ y_1=-2,\ x_2=1,\ y_2=5,\ x_3=4,\ y_3=-1\)입니다:

$$\text{부호있는 넓이} = \tfrac{1}{2}\big[\,-3(5-(-1)) + 1((-1)-(-2)) + 4((-2)-5)\,\big]$$$$= \tfrac{1}{2}\big[\,-3(6) + 1(1) + 4(-7)\,\big] = \tfrac{1}{2}\big[-18 + 1 - 28\big] = \tfrac{-45}{2} = -22.5$$

부호있는 넓이는 \(-22.5\)입니다: 음수 기호는 점들이 시계 방향으로 정렬되어 있음을 알려줍니다. 실제 넓이는 절댓값인 \(|-22.5| = 22.5\) 제곱단위입니다 — 예제 1과 동일합니다. 순서는 삼각형의 크기를 바꾸지 않기 때문입니다.

예제 3 — 한 직선 위의 점은 넓이 0을 줍니다

꼭짓점: \(P(0, 0)\), \(Q(2, 4)\), \(R(5, 10)\). 세 점 모두 직선 \(y = 2x\) 위에 있습니다. \(x_1=0,\ y_1=0,\ x_2=2,\ y_2=4,\ x_3=5,\ y_3=10\)을 대입하면:

$$\text{넓이} = \tfrac{1}{2}\big|\,0(4-10) + 2(10-0) + 5(0-4)\,\big|$$$$= \tfrac{1}{2}\big|\,0 + 20 - 20\,\big| = \tfrac{1}{2}\,|0| = 0$$

넓이는 0 제곱단위입니다. 이는 세 점이 한 직선 위에 있으며 닫힌 삼각형을 이루지 않음을 확인해 줍니다.

핵심 용어 및 변수

꼭짓점 \((x, y)\)

삼각형의 모서리 점으로, 수평 좌표 \(x\)와 수직 좌표 \(y\)로 주어집니다. 세 개의 꼭짓점은 \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\), \((x_3, y_3)\)로 표시되며 신발끈 공식이 필요한 유일한 입력값입니다.

부호있는 넓이

절댓값을 취하기 전의 신발끈 식의 결과입니다. 그 크기는 삼각형의 넓이와 같지만, 부호는 꼭짓점이 나열된 순서를 인코딩합니다: 반시계 방향일 때 양수, 시계 방향일 때 음수입니다.

반시계 방향(CCW) 방향

\((x_1,y_1)\to(x_2,y_2)\to(x_3,y_3)\)을 따라 가면 왼쪽으로 회전하도록 나열된 꼭짓점입니다. 이는 표준 \(xy\)-평면에서 양수 부호있는 넓이를 생성합니다.

시계 방향(CW) 방향

같은 경로를 따라가면 오른쪽으로 회전하도록 나열된 꼭짓점입니다. 이는 음수 부호있는 넓이를 생성합니다. 최종 넓이(절댓값)는 변하지 않으므로, 꼭짓점 순서는 답의 크기에 절대 영향을 미치지 않습니다.

한 직선 위의 점

모두 하나의 직선 위에 있는 세 점입니다. 영역을 둘러싸지 않으므로, 신발끈 공식은 부호있는 넓이와 정확히 \(0\)의 넓이를 반환합니다. 이것은 한 직선 위에 있는지를 빠르게 판단하는 방법입니다.

제곱단위

넓이의 단위입니다. 좌표가 미터로 측정되면 넓이는 제곱미터(m²)입니다; 픽셀로 측정되면 제곱픽셀이고, 등등입니다. 넓이는 항상 좌표의 길이 단위의 제곱 버전을 가집니다.

자주 묻는 질문

점을 입력하는 순서가 중요한가요? 넓이를 구할 때는 상관없습니다. 절댓값을 취하기 때문에 방향이 사라지기 때문입니다. 순서는 부호 있는 넓이의 부호만 바꿀 뿐입니다.

넓이가 0으로 나오면 어떻게 되나요? 넓이가 0이라는 것은 세 점이 한 직선 위에 있다(공선 상태)는 뜻이며, 실제 삼각형을 이루지 않는다는 의미입니다.

음수 좌표도 쓸 수 있나요? 네, 가능합니다. 이 공식은 양수든 음수든 모든 실수 좌표에 대해 작동합니다.