Máy Tính Cấp Số Cộng Giúp Bạn Làm Gì?
Cấp số cộng là một dãy số trong đó mỗi số hạng đều tăng (hoặc giảm) thêm một lượng cố định, gọi là công sai. Máy tính này nhận ba thông tin đầu vào và lập tức trả về số hạng cuối, tổng của tất cả các số hạng, cùng một hình minh họa được tô màu để bạn thấy ngay xu hướng tăng giảm của cả dãy.
Các Thông Tin Bạn Cần Nhập
- Số hạng đầu (a₁): giá trị bắt đầu của dãy số.
- Công sai (d): lượng được cộng vào mỗi số hạng để ra số hạng tiếp theo. Giá trị dương khiến dãy tăng dần; giá trị âm khiến dãy giảm dần.
- Số số hạng (n): số lượng số hạng bạn muốn tạo ra, liệt kê và tính tổng.
Công Thức Áp Dụng
Máy tính sử dụng hai công thức chuẩn của cấp số cộng:
- Số hạng thứ n (số hạng cuối): $$a_n = \text{a}_1 + \left(\text{n} - 1\right)\times \text{d}$$
- Tổng n số hạng: $$S_n = \frac{\text{n}}{2}\left(2\,\text{a}_1 + \left(\text{n} - 1\right)\times \text{d}\right)$$
Đồng thời, máy tính cũng dựng ra từng số hạng cụ thể từ \(a_1\) cho đến \(a_n\). Trong phần hiển thị trực quan, mỗi số hạng được tô màu theo dải chuyển từ xanh lá sang đỏ và thay đổi kích thước đôi chút — giá trị nhỏ nhất hiện màu xanh và nhỏ, giá trị lớn nhất hiện màu đỏ và lớn — nhờ vậy bạn dễ dàng theo dõi xu hướng của dãy.
Ví Dụ Minh Họa
Giả sử bạn nhập Số hạng đầu = 3, Công sai = 5 và Số số hạng = 6.
- Số hạng cuối: $$a_6 = 3 + \left(6 - 1\right)\times 5 = 3 + 25 = \textbf{28}$$
- Tổng: $$S_6 = \frac{6}{2}\left(2\times 3 + \left(6 - 1\right)\times 5\right) = 3\times \left(6 + 25\right) = 3\times 31 = \textbf{93}$$
- Dãy số: 3, 8, 13, 18, 23, 28
Máy tính sẽ trả về 28 là số hạng cuối, 93 là tổng, và hiển thị cả sáu số hạng cùng dải màu của chúng.
So Sánh Các Đầu Vào Dãy Số Khác Nhau
Một dãy số cộng được xác định bởi ba đầu vào: số hạng đầu tiên \(a_1\), công sai \(d\), và số lượng các số hạng \(n\). Từ đó bạn có thể tính số hạng thứ n (số hạng cuối) và tổng của tất cả các số hạng bằng cách sử dụng:
$$a_n = a_1 + (n-1)\,d \qquad S_n = \frac{n}{2}\,(a_1 + a_n)$$
Bảng dưới đây cho thấy cách số hạng cuối cùng và tổng thay đổi trên nhiều bộ đầu vào thực tế. Lưu ý cách công sai âm tạo ra một dãy số giảm, và công sai phân số tạo ra các số hạng không phải là số nguyên.
| Số hạng đầu tiên \(a_1\) | Công sai \(d\) | Số lượng các số hạng \(n\) | Số hạng cuối \(a_n\) | Tổng \(S_n\) |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 5 | 14 | 40 |
| 10 | -2 | 8 | -4 | 24 |
| 1 | 0.5 | 10 | 5.5 | 32.5 |
| 5 | 5 | 20 | 100 | 1050 |
| 100 | -10 | 11 | 0 | 550 |
| 0 | 1 | 100 | 99 | 4950 |
Ví dụ, hàng cuối cùng cộng các số nguyên \(0+1+2+\cdots+99\). Sử dụng \(S_n = \tfrac{n}{2}(a_1 + a_n) = \tfrac{100}{2}(0 + 99) = 4950\). Cùng một tổng này có thể được xác nhận bằng công thức chuỗi số cộng, và tương đương như phép cộng \(\sum_{i=1}^{100}(i-1)\).
Câu Hỏi Thường Gặp
Công sai có thể là số âm hoặc số thập phân không? Có. Các giá trị nhập vào được hiểu là số thập phân, nên công sai bằng −2 sẽ tạo ra dãy giảm dần, còn 0,5 sẽ tạo ra các bước nhảy theo phân số. Chỉ riêng số số hạng bắt buộc phải là số nguyên.
Nếu tôi nhập số số hạng bằng 1 thì sao? Dãy số khi đó chỉ gồm đúng số hạng đầu, số hạng cuối sẽ bằng số hạng đầu, và tổng cũng chính là giá trị đó.
Máy tính có dùng được cho chuỗi số cộng (tổng dãy) không? Có — kết quả "Tổng" chính là giá trị của chuỗi số cộng (tổng của tất cả các số hạng), được tính bằng công thức \(S_n\) ở trên.
