什么是等差数列求和计算器？
等差数列是指一组数字，其中每一项都比前一项增加（或减少）一个固定的数值，这个固定值称为「公差」。把这些项依次相加，就得到等差数列的和。本计算器可在已知首项、公差和项数的情况下，求出该数列前 n 项的总和。
使用方法
依次填入首项 a₁、公差 d（递增填正数，递减填负数）以及项数 n。计算器会输出总和 Sₙ、末项 aₙ，并显示参与求和的项数，便于核对。
公式详解
求和公式如下：
$$S_n = \frac{n}{2}\left(2\,a_1 + \left(n - 1\right)d\right)$$
原理很直观：把首项与末项配对，每一对的和都相等，而这样的配对共有 \(n/2\) 组。由于末项为 \(a_n = a_1 + (n - 1)d\)，因此公式也可以写成等价形式 \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\)。
实例演算
假设 \(a_1 = 2\)，\(d = 3\)，\(n = 5\)，那么各项依次为 2、5、8、11、14。代入公式：$$S_n = \frac{5}{2}\left(2\cdot 2 + (5-1)\cdot 3\right) = 2.5 \cdot (4 + 12) = 2.5 \cdot 16 = 40$$ 直接相加验证：\(2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40\)。✔ 结果一致。
更多已解决的例子
等差数列求和的两种等价形式为：
$$S_n = \frac{n}{2}\bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr) \qquad\text{以及}\qquad S_n = \frac{n}{2}\bigl(a_1 + a_n\bigr)$$当您已经知道（或首先计算）末项 \(a_n = a_1 + (n-1)d\) 时，第二种形式很方便。
例 1 — 负公差的递减数列
一个数列从 \(a_1 = 40\) 开始，每步递减 \(d = -3\)，共有 \(n = 10\) 项。
$$S_{10} = \frac{10}{2}\bigl(2(40) + (10-1)(-3)\bigr)$$$$= 5\bigl(80 + 9(-3)\bigr) = 5(80 - 27) = 5(53) = \;$$和为 265。（第 10 项是 \(a_{10} = 40 + 9(-3) = 13\)，所以项为 40, 37, 34, … , 13。）
例 2 — 大 n 的情形
求首 \(n = 100\) 项的和，其中 \(a_1 = 5\) 和 \(d = 4\)。
$$S_{100} = \frac{100}{2}\bigl(2(5) + (100-1)(4)\bigr)$$$$= 50\bigl(10 + 99(4)\bigr) = 50(10 + 396) = 50(406) = \;$$和为 20300。
例 3 — 使用 \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\) 形式
一个数列有 \(a_1 = 7\), \(d = 5\), 和 \(n = 20\)。首先求末项：
$$a_{20} = a_1 + (n-1)d = 7 + (20-1)(5) = 7 + 95 = 102$$然后应用端点平均值形式：
$$S_{20} = \frac{20}{2}\bigl(a_1 + a_{20}\bigr) = 10(7 + 102) = 10(109) = \;$$和为 1090。这与展开形式 \(\frac{20}{2}(2\cdot7 + 19\cdot5) = 10(14 + 95) = 1090\) 一致。
常见问题
如果 d 等于 0 怎么办？此时每一项都等于 \(a_1\)，所以总和就是 \(n \times a_1\)。
d 可以是负数吗？可以。公差为负时数列递减，公式依然成立，计算结果准确无误。
数列和级数（求和）有什么区别？数列是按顺序排列的一组数字，而级数（求和）则是把这些数字相加得到的结果。
