ما هو مثلث 45-45-90؟
مثلث 45-45-90 هو مثلث قائم خاص تبلغ زواياه 45° و45° و90°. وبما أن الزاويتين غير القائمتين متساويتان، فهو أيضًا مثلث قائم متساوي الساقين، أي أن الضلعين المجاورين للزاوية القائمة لهما الطول نفسه. أما الوتر فهو أطول الأضلاع، ويقع مقابل الزاوية القائمة (90°). تتيح لك هذه الحاسبة إيجاد طول كل ضلع عندما يكون الوتر معلومًا لديك.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل طول الوتر بأي وحدة تناسبك (سنتيمتر، بوصة، متر… وتظهر النتيجة بالوحدة نفسها). تعطيك الأداة فورًا طول كل ضلع من الضلعين المتساويين، إضافة إلى مساحة المثلث ومحيطه. وبما أن الضلعين متطابقان، فإن قيمة واحدة تكفي للتعبير عنهما معًا.
شرح العلاقة الحسابية
في مثلث 45-45-90 تكون نسبة الأضلاع دائمًا 1 : 1 : √2. فإذا كان طول الضلع هو a، فإن طول الوتر يساوي a√2. وبإعادة ترتيب المعادلة نحصل على الضلع مباشرةً من الوتر c:
$$\text{الضلع} = \dfrac{c}{\sqrt{2}}$$، ويمكن كتابتها أيضًا بالصيغة $$\text{الضلع} = \dfrac{c\sqrt{2}}{2}$$ بعد إنطاق المقام (التخلص من الجذر في المقام). أما المساحة فهي \(A = \dfrac{\text{الضلع}^2}{2}\)، والمحيط هو \(2\cdot\text{الضلع} + c\).
مثال محلول
لنفترض أن طول الوتر يساوي 10. عندها يكون $$\text{الضلع} = \frac{10}{\sqrt{2}} \approx \frac{10}{1.41421} \approx 7.0711.$$ وتكون المساحة $$\frac{7.0711^2}{2} \approx \frac{50}{2} = 25,$$ ويكون المحيط \(2 \times 7.0711 + 10 \approx 24.1421\).
طول الساق للقيم الشائعة للوتر
في مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين 45-45-90، الساقان متساويان وكل منهما يُحسب من الوتر باستخدام \(\text{الساق} = \frac{c}{\sqrt{2}}\). بمجرد معرفة طول الساق، المساحة هي \(\frac{\text{الساق}^2}{2}\) والمحيط هو \(2\,\text{الساق} + c\). الجدول أدناه يطبق هذه الصيغ على عدة قيم شائعة للوتر، مع تقريب النتائج إلى منزلتين عشريتين.
| الوتر \(c\) | الساق \(= c/\sqrt{2}\) | المساحة \(= \text{الساق}^2/2\) | المحيط \(= 2\,\text{الساق} + c\) |
|---|---|---|---|
| 1 | 0.71 | 0.25 | 2.41 |
| 2 | 1.41 | 1.00 | 4.83 |
| 5 | 3.54 | 6.25 | 12.07 |
| 10 | 7.07 | 25.00 | 24.14 |
| 14.14 | 10.00 | 50.00 | 34.14 |
| 20 | 14.14 | 100.00 | 48.28 |
| 100 | 70.71 | 2500.00 | 241.42 |
لاحظ أنه عندما يكون الوتر حوالي 14.14 (وهو يساوي \(10\sqrt{2}\))، تصبح الساقان بالضبط 10، مما يوضح كيف يربط عامل \(\sqrt{2}\) بين الساق والوتر. كل ساق تشكل تقريباً 70.7% من الوتر، لذلك مضاعفة الوتر تضاعف الساق وتضاعف المساحة أربع مرات.
الأسئلة الشائعة
هل الضلعان متساويان فعلًا؟ نعم. وبما أن الزاويتين الحادتين تساوي كل منهما 45°، فإن الضلعين المقابلين لهما متساويان، ما يجعل المثلث متساوي الساقين.
لماذا نقسم على √2 بدلًا من الضرب؟ لأن الوتر هو أطول ضلع ويساوي طول الضلع مضروبًا في √2، لذا للانتقال من الوتر إلى الضلع نقسم على √2.
هل تؤثر وحدة القياس في النتيجة؟ لا. يظهر الضلع بالوحدة نفسها التي أدخلت بها الوتر، لأن الحساب يعتمد على نسبة خالصة لا غير.
