ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تساعدك هذه الأداة على إيجاد مساحة المثلث المتساوي الساقين متى عرفت طول قاعدته وطول ساقيه المتساويين. كما تمنحك ارتفاع المثلث (المقاس من القاعدة حتى الرأس) ومحيطه، لتحصل على صورة كاملة عن الشكل انطلاقًا من قياسين فقط.
طريقة الاستخدام
أدخل طول القاعدة (b) وطول إحدى الساقين المتساويتين (a) بالوحدة نفسها. تعرض لك الحاسبة فورًا المساحة بالوحدات المربعة، والارتفاع بالوحدات الطولية، والمحيط كذلك. لاحظ أن طول كل ساق يجب أن يكون أكبر من نصف القاعدة، وإلا فلن يكون هناك مثلث صحيح.
شرح القانون
للمثلث المتساوي الساقين ساقان متساويتان طول كل منهما \(a\) وقاعدة طولها \(b\). عند إسقاط عمود من الرأس إلى القاعدة ينقسم المثلث إلى مثلثين قائمي الزاوية، طول وتر كل منهما \(a\) وطول قاعدته \(b/2\). وبالتالي يكون الارتفاع \(h = \sqrt{a^2 - (b/2)^2} = \dfrac{\sqrt{4a^2 - b^2}}{2}\). أما المساحة فهي نصف حاصل ضرب القاعدة في الارتفاع، وتُختصر إلى:
$$A = \frac{b}{4}\cdot\sqrt{4a^2 - b^2}$$
مثال محلول
لنفترض أن القاعدة تساوي 6 وأن طول كل ساق يساوي 5. عندها يكون \(4a^2 - b^2 = 4\cdot 25 - 36 = 100 - 36 = 64\). والجذر التربيعي للعدد 64 هو 8. إذن المساحة:
$$A = \frac{6}{4}\cdot 8 = 1.5\cdot 8 = 12$$
وحدة مربعة. والارتفاع \(= 8/2 = 4\)، والمحيط \(= 6 + 2\cdot 5 = 16\).
المساحة عبر مثلثات متساوية الساقين المختلفة
للمثلث متساوي الساقين قاعدة \(b\) وضلعان متساويان \(a\). إذا أسقطنا عمودًا من قمة المثلث إلى القاعدة، فسوف ينقسم المثلث إلى مثلثي زوايا قائمة متطابقين، كل منهما له وتر \(a\) وساق أفقية \(b/2\). الارتفاع هو إذن
$$h = \sqrt{a^{2} - \left(\tfrac{b}{2}\right)^{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{4a^{2} - b^{2}}$$والمساحة تتبع مباشرة:
$$A = \frac{b}{4}\sqrt{4a^{2} - b^{2}}, \qquad P = 2a + b.$$يطبق الجدول أدناه هذه الصيغ الدقيقة على عدة أزواج من القاعدة والضلع. كل صف يتطلب \(a > b/2\) حتى يتمكن المثلث من الإغلاق فعليًا.
| القاعدة (b) | الضلع (a) | الارتفاع (h) | المساحة (A) | المحيط (P) |
|---|---|---|---|---|
| 6 | 5 | 4 | 12 | 16 |
| 8 | 5 | 3 | 12 | 18 |
| 10 | 13 | 12 | 60 | 36 |
| 4 | 4 | ≈ 3.464 | ≈ 6.928 | 12 |
الصف الأخير (b=4, a=4) هو أيضًا مثلث متساوي الأضلاع، لذا فإن ارتفاعه يساوي \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 4 \approx 3.464\) وتطابق مساحته القيمة متساوية الأضلاع حوالي 6.928.
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كانت الساق قصيرة جدًا؟ إذا كان الناتج \(4a^2 - b^2\) يساوي صفرًا أو أقل من الصفر، فإن الساقين لا يمكن أن تلتقيا فوق القاعدة، ومن ثم لا يوجد مثلث وتظهر المساحة على أنها 0.
أي ضلع أُدخله بوصفه الساق المتساوية؟ أدخل طول إحدى الساقين المتطابقتين، فكلتا الساقين متساويتان في الطول داخل المثلث المتساوي الساقين.
ما الوحدات التي تظهر بها النتيجة؟ تظهر المساحة بالوحدات المربعة للوحدة التي أدخلتها، بينما يظهر كل من الارتفاع والمحيط بالوحدات الطولية نفسها.
