¿Qué es un triángulo 45-45-90?
Un triángulo 45-45-90 es un triángulo rectángulo especial cuyos ángulos miden 45°, 45° y 90°. Como los dos ángulos que no son rectos son iguales, también se trata de un triángulo rectángulo isósceles: los dos catetos (los lados que forman el ángulo recto) tienen la misma longitud. La hipotenusa es el lado más largo y se sitúa frente al ángulo de 90°. Esta calculadora halla la longitud de cada cateto cuando ya conoces la hipotenusa.
Cómo usar esta calculadora
Introduce la longitud de la hipotenusa en la unidad que prefieras (cm, pulgadas, metros…): el resultado se devuelve en esa misma unidad. La herramienta calcula al instante la longitud de cada cateto, además del área y el perímetro del triángulo. Como ambos catetos son idénticos, un solo valor sirve para los dos.
La fórmula explicada
En un triángulo 45-45-90 los lados guardan siempre la proporción 1 : 1 : √2. Si el cateto es a, la hipotenusa vale \(a\sqrt{2}\). Despejando, obtenemos el cateto directamente a partir de la hipotenusa c:
$$\text{cateto} = \dfrac{c}{\sqrt{2}}$$, que también puede escribirse como $$\text{cateto} = \dfrac{c\sqrt{2}}{2}$$ tras racionalizar el denominador. El área es entonces \(A = \dfrac{\text{cateto}^2}{2}\) y el perímetro es \(2\cdot\text{cateto} + c\).
Ejemplo resuelto
Imagina que la hipotenusa mide 10. Entonces $$\text{cateto} = \frac{10}{\sqrt{2}} \approx \frac{10}{1{,}41421} \approx 7{,}0711.$$ El área es \(\frac{7{,}0711^2}{2} \approx \frac{50}{2} = 25\), y el perímetro es \(2 \times 7{,}0711 + 10 \approx 24{,}1421\).
Longitud de los Catetos para Valores Comunes de la Hipotenusa
En un triángulo rectángulo isósceles 45-45-90, los dos catetos son iguales y cada uno se encuentra a partir de la hipotenusa usando \(\text{cateto} = \frac{c}{\sqrt{2}}\). Una vez que se conoce el cateto, el área es \(\frac{\text{cateto}^2}{2}\) y el perímetro es \(2\,\text{cateto} + c\). La tabla a continuación aplica estas fórmulas a varios valores comunes de la hipotenusa, con resultados redondeados a dos lugares decimales.
| Hipotenusa \(c\) | Cateto \(= c/\sqrt{2}\) | Área \(= \text{cateto}^2/2\) | Perímetro \(= 2\,\text{cateto} + c\) |
|---|---|---|---|
| 1 | 0.71 | 0.25 | 2.41 |
| 2 | 1.41 | 1.00 | 4.83 |
| 5 | 3.54 | 6.25 | 12.07 |
| 10 | 7.07 | 25.00 | 24.14 |
| 14.14 | 10.00 | 50.00 | 34.14 |
| 20 | 14.14 | 100.00 | 48.28 |
| 100 | 70.71 | 2500.00 | 241.42 |
Observe que cuando la hipotenusa es aproximadamente 14.14 (que equivale a \(10\sqrt{2}\)), los catetos resultan exactamente 10, lo que ilustra cómo el factor \(\sqrt{2}\) vincula el cateto y la hipotenusa. Cada cateto es aproximadamente el 70.7% de la hipotenusa, por lo que duplicar la hipotenusa duplica el cateto y cuadruplica el área.
Preguntas frecuentes
¿De verdad son iguales los dos catetos? Sí. Como los dos ángulos agudos miden ambos 45°, los lados opuestos a ellos son iguales, de modo que el triángulo es isósceles.
¿Por qué hay que dividir entre √2 en lugar de multiplicar? La hipotenusa es el lado más largo y equivale a un cateto multiplicado por √2; por eso, para pasar de la hipotenusa al cateto se divide entre √2.
¿Importa la unidad que use? No. El cateto se obtiene en la misma unidad que hayas introducido para la hipotenusa, ya que el cálculo es una simple proporción.
