À quoi sert ce calculateur
Cet outil résout une équation du second degré de la forme \(ax^2 + bx + c = 0\) grâce à la méthode de factorisation (dite méthode AC) et en donne les racines réelles. La factorisation consiste à réécrire le trinôme sous la forme d'un produit de deux binômes : on peut alors résoudre l'équation en annulant chaque facteur. Lorsqu'il n'existe pas de factorisation simple, la formule du discriminant prend le relais et fournit malgré tout les racines exactes.
Mode d'emploi
Saisissez les trois coefficients : a (terme en x²), b (terme en x) et c (le terme constant). Cliquez sur « Calculer ». Le résultat affiche les deux racines, le discriminant \(b^2 - 4ac\), et indique si l'équation possède deux racines réelles distinctes, une racine double ou des racines complexes.
La méthode de factorisation expliquée
La méthode AC cherche deux nombres p et q tels que \(p \cdot q = a \cdot c\) et \(p + q = b\). On scinde alors le terme du milieu bx en px + qx, ce qui permet de regrouper les quatre termes et de factoriser. Les racines obtenues sont rigoureusement identiques à celles de la formule $$x = \frac{-\text{b} \pm \sqrt{\text{b}^{2} - 4\,\text{a}\,\text{c}}}{2\,\text{a}}$$ que ce calculateur utilise en interne : il fonctionne donc même lorsqu'aucune factorisation à coefficients entiers n'existe.
Exemple détaillé
Résolvons \(x^2 + 5x + 6 = 0\). Ici \(a = 1\), \(b = 5\), \(c = 6\), donc \(a \cdot c = 6\). Il nous faut \(p \cdot q = 6\) et \(p + q = 5\) → \(p = 2\), \(q = 3\). Les facteurs sont $$(x + 2)(x + 3) = 0,$$ d'où les racines \(x = -2\) et \(x = -3\). Le discriminant vaut $$5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 > 0,$$ ce qui confirme deux racines réelles distinctes.
Questions fréquentes
Que se passe-t-il si a = 0 ? L'équation n'est plus du second degré : elle devient linéaire (du premier degré) \(bx + c = 0\), dont l'unique solution est \(x = -c/b\).
Que signifie un discriminant négatif ? Lorsque \(b^2 - 4ac < 0\), l'équation n'a pas de racine réelle : ses solutions sont des nombres complexes conjugués. Le calculateur indique alors qu'il n'existe aucune racine réelle.
Pourquoi mes racines sont-elles des nombres décimaux ? Toutes les équations du second degré ne se factorisent pas avec des nombres entiers. Le calculateur renvoie les valeurs réelles exactes issues de la formule du discriminant, qui peuvent être des décimaux irrationnels.
