गुणनखंड विधि से द्विघात समीकरण हल करने वाला कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

a (x² का गुणांक)

b (x का गुणांक)

c (अचर पद)

परिणाम

द्विघात समीकरण के मूल

x₁ = -2, x₂ = -3

दो अलग-अलग वास्तविक मूल

a, b, c	1, 5, 6
विविक्तकर (b² − 4ac)	1
मूल 1	-2
मूल 2	-3

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल ax² + bx + c = 0 रूप के किसी भी द्विघात समीकरण को गुणनखंड (AC) विधि से हल करता है और उसके वास्तविक मूल बताता है। गुणनखंड करने में त्रिपद को दो द्विपदों के गुणनफल के रूप में फिर से लिखा जाता है, ताकि प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखकर समीकरण हल किया जा सके। जब साफ-सुथरे गुणनखंड संभव नहीं होते, तब भी इसके पीछे काम करने वाला द्विघात सूत्र सटीक मूल लौटा देता है।

इसका उपयोग कैसे करें

तीनों गुणांक भरें: a (x² वाला पद), b (x वाला पद) और c (अचर पद)। फिर "calculate" दबाएँ। परिणाम में दोनों मूल, विविक्तकर \(b^2 - 4ac\), और यह दिखेगा कि समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं, एक पुनरावृत्त मूल है, या मूल सम्मिश्र (complex) हैं।

गुणनखंड सूत्र की व्याख्या

AC विधि में ऐसी दो संख्याएँ p और q खोजी जाती हैं जिनके लिए p·q = a·c और p + q = b हो। इसके बाद बीच के पद bx को px + qx में बाँट दिया जाता है, जिससे चारों पदों को समूह बनाकर गुणनखंडित किया जा सके। इस तरह मिलने वाले मूल बिलकुल वही होते हैं जो द्विघात सूत्र $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ से मिलते हैं। यह कैलकुलेटर भीतर-ही-भीतर इसी सूत्र का उपयोग करता है, इसलिए यह तब भी सही काम करता है जब पूर्णांक गुणनखंड मौजूद न हों।

गुणनखंड विधि दो संख्याएँ p, q खोजती है जहाँ p·q = ac और p + q = b।

हल किया हुआ उदाहरण

x² + 5x + 6 = 0 को हल करें। यहाँ a=1, b=5, c=6 है, तो \(a \cdot c = 6\) हुआ। हमें ऐसी संख्याएँ चाहिए जहाँ \(p \cdot q = 6\) और \(p + q = 5\) → यानी p = 2, q = 3। गुणनखंड बने $$(x + 2)(x + 3) = 0$$ जिससे मूल मिलते हैं x = −2 और x = −3। विविक्तकर है $$5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 > 0$$ जो दो अलग-अलग वास्तविक मूल होने की पुष्टि करता है।

वास्तविक मूल वहाँ होते हैं जहाँ परवलय x-अक्ष को काटता है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

अगर a = 0 हो तो? तब समीकरण द्विघात नहीं रह जाता; वह रैखिक (linear) bx + c = 0 बन जाता है, जिसका एकमात्र हल \(x = -c/b\) होता है।

ऋणात्मक विविक्तकर का क्या मतलब है? जब \(b^2 - 4ac < 0\) होता है, तब द्विघात का कोई वास्तविक मूल नहीं होता — उसके हल सम्मिश्र संयुग्मी (complex conjugates) होते हैं, इसलिए यह कैलकुलेटर "कोई वास्तविक मूल नहीं" बताता है।

मेरे मूल दशमलव में क्यों आ रहे हैं? हर द्विघात समीकरण पूर्णांकों में गुणनखंडित नहीं होता। ऐसी स्थिति में कैलकुलेटर द्विघात सूत्र से सटीक वास्तविक मान देता है, जो अपरिमेय (irrational) दशमलव भी हो सकते हैं।