ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحلّ هذه الأداة المعادلة التربيعية التي تأخذ الصيغة \(ax^2 + bx + c = 0\) باستخدام طريقة التحليل إلى عوامل (طريقة AC)، ثم تعرض الجذور الحقيقية. يعيد التحليل كتابة المقدار الثلاثي على صورة حاصل ضرب قوسين، فتُحل المعادلة بمساواة كل عامل بالصفر. وعندما لا توجد عوامل صحيحة واضحة، يبقى القانون العام للمعادلة التربيعية قادرًا على إعطاء الجذور الدقيقة.
كيفية الاستخدام
أدخل المعاملات الثلاثة: a (معامل الحد x²)، وb (معامل الحد x)، وc (الحد الثابت). ثم اضغط على زر الحساب. تُظهر النتيجة الجذرين، وقيمة المميِّز \(b^2 - 4ac\)، وما إذا كانت المعادلة تملك جذرين حقيقيين، أو جذرًا واحدًا مكررًا، أو جذورًا عقدية (مركّبة).
شرح صيغة التحليل إلى عوامل
تبحث طريقة AC عن عددين p وq بحيث يتحقق أن \(p \cdot q = a \cdot c\) وأن \(p + q = b\). بعد ذلك يُجزَّأ الحد الأوسط bx إلى \(px + qx\)، مما يتيح تجميع الحدود الأربعة وتحليلها. والجذور الناتجة بهذه الطريقة مطابقة تمامًا لتلك المستخرجة من القانون العام $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ وهو القانون الذي تعتمد عليه الحاسبة داخليًا، لذا فهي تعمل حتى عند عدم وجود عوامل صحيحة.
مثال محلول
لنحل المعادلة \(x^2 + 5x + 6 = 0\). هنا a=1، b=5، c=6، إذًا \(a \cdot c = 6\). نحتاج إلى \(p \cdot q = 6\) و\(p + q = 5\) ← أي p = 2، q = 3. فتكون العوامل $$(x + 2)(x + 3) = 0$$ ومنها الجذران x = −2 وx = −3. أما المميِّز فهو $$5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 > 0$$ وهذا يؤكد وجود جذرين حقيقيين مختلفين.
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان a = 0؟ عندها لا تعود المعادلة تربيعية، بل تصبح خطية على الصورة \(bx + c = 0\) ولها حل وحيد هو \(x = -c/b\).
ماذا يعني أن يكون المميِّز سالبًا؟ عندما يكون \(b^2 - 4ac < 0\) فإن المعادلة لا تملك جذورًا حقيقية؛ إذ تكون حلولها أعدادًا عقدية مترافقة، ولذلك تشير الحاسبة إلى عدم وجود جذور حقيقية.
لماذا تظهر جذوري على هيئة كسور عشرية؟ ليست كل معادلة تربيعية قابلة للتحليل على الأعداد الصحيحة. تعيد الحاسبة القيم الحقيقية الدقيقة من القانون العام، وقد تكون أعدادًا غير نسبية بصيغة عشرية.
