Калькулятор решения квадратного уравнения разложением на множители

Введите расчет

a (коэффициент при x²)

b (коэффициент при x)

c (свободный член)

Результатов

Корни квадратного уравнения

x₁ = -2, x₂ = -3

Два различных действительных корня

a, b, c	1, 5, 6
Дискриминант (b² − 4ac)	1
Корень 1	-2
Корень 2	-3

Что делает этот калькулятор

Этот инструмент решает квадратное уравнение вида ax² + bx + c = 0 методом разложения на множители (так называемый AC-метод) и выдаёт действительные корни. При разложении трёхчлен переписывается в виде произведения двух скобок, после чего уравнение решается приравниванием каждого множителя к нулю. Если «красивых» целочисленных множителей нет, точные корни всё равно находятся по формуле дискриминанта.

Как пользоваться

Введите три коэффициента: a (при x²), b (при x) и c (свободный член). Нажмите «Рассчитать». В результате вы увидите два корня, дискриминант \(b^{2} - 4ac\) и тип решения: два различных действительных корня, один (кратный) корень или комплексные корни.

Формула разложения на множители

AC-метод подбирает два числа p и q так, чтобы выполнялись условия p·q = a·c и p + q = b. Затем средний член bx разбивается на px + qx, и полученные четыре слагаемых группируются и выносятся за скобки. Корни, найденные этим способом, в точности совпадают с корнями по формуле $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$$ которую калькулятор использует «под капотом» — поэтому он работает даже тогда, когда целых множителей не существует.

Метод разложения на множители находит два числа p, q, для которых p·q = ac и p + q = b.

Разбор примера

Решим уравнение \(x^{2} + 5x + 6 = 0\). Здесь a=1, b=5, c=6, значит a·c = 6. Нужно подобрать \(p \cdot q = 6\) и \(p + q = 5\) → p = 2, q = 3. Множители принимают вид \((x + 2)(x + 3) = 0\), откуда корни x = −2 и x = −3. Дискриминант равен $$5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 > 0$$ — это подтверждает наличие двух различных действительных корней.

Действительные корни — это точки пересечения параболы с осью x.

Частые вопросы

Что если a = 0? Тогда уравнение перестаёт быть квадратным и превращается в линейное \(bx + c = 0\) с единственным решением \(x = -c/b\).

Что означает отрицательный дискриминант? Когда \(b^{2} - 4ac < 0\), действительных корней у уравнения нет — его решениями являются комплексно-сопряжённые числа, поэтому калькулятор сообщает, что действительных корней нет.

Почему корни получились дробными? Далеко не каждое квадратное уравнение раскладывается на множители в целых числах. Калькулятор возвращает точные действительные значения по формуле дискриминанта, а они могут оказаться иррациональными десятичными дробями.