स्पर्श रेखा कैलकुलेटर क्या करता है
यह कैलकुलेटर \(f(x) = a\cdot x^{n}\) रूप के किसी सरल घात फलन (power function) की चुने गए बिंदु पर स्पर्श रेखा (tangent line) का समीकरण ज्ञात करता है। स्पर्श रेखा वक्र को ठीक एक ही बिंदु पर छूती है और उस बिंदु पर वक्र के समान ढलान रखती है। यह टूल आपको तीन चीज़ें देता है: रेखा की ढलान, आपके बिंदु पर फलन का y-मान, और स्पर्श रेखा का y-अंतःखंड — यानी वह सब जो आपको रेखा को \(y = mx + b\) के रूप में लिखने के लिए चाहिए।
तीन इनपुट
- गुणांक (a) — घात पद के साथ गुणा होने वाली संख्या, जैसे 3x² में 3।
- घातांक (n) — वह पूर्ण संख्या जिसकी घात x पर लगती है, जैसे 3x² में 2।
- बिंदु x — वह x-निर्देशांक जहाँ आप स्पर्श रेखा खींचना चाहते हैं।
उपयोग किया जाने वाला सूत्र
फलन का मान \(f(x) = a\cdot x^{n}\) से निकाला जाता है। ढलान अवकलज (derivative) के घात नियम (power rule) से प्राप्त होती है:
- ढलान (m) \(= f'(x) = a\cdot n\cdot x^{(n-1)}\)
- फलन मान (y) \(= a\cdot x^{n}\)
- y-अंतःखंड (b) \(= y - m\cdot x\)
इसके बाद स्पर्श रेखा का समीकरण होता है $$y = m\cdot x + b$$।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(a = 3\), \(n = 2\) और बिंदु \(x = 4\), जिससे \(f(x) = 3x^{2}\) बनता है।
- फलन मान: $$y = 3 \times 4^{2} = 3 \times 16 = \mathbf{48}$$
- ढलान: $$m = 3 \times 2 \times 4^{(2-1)} = 6 \times 4 = \mathbf{24}$$
- y-अंतःखंड: $$b = 48 - 24 \times 4 = 48 - 96 = \mathbf{-48}$$
तो \(x = 4\) पर स्पर्श रेखा होगी \(y = 24x - 48\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या यह एक से अधिक पदों वाले फलन को संभाल सकता है? नहीं। यह केवल \(a\cdot x^{n}\) रूप के एकल घात पद पर काम करता है। \(x^{2} + 5x\) जैसे योग के लिए आपको हर पद की गणना अलग-अलग करनी होगी या किसी अधिक सामान्य टूल का उपयोग करना होगा।
अगर मैं ऋणात्मक या भिन्नात्मक बिंदु डालूँ तो क्या होगा? ऋणात्मक x-मान बिल्कुल चलते हैं। हालाँकि, घातांक को पूर्ण संख्या के रूप में पढ़ा जाता है, इसलिए भिन्नात्मक घातें (जैसे वर्गमूल) समर्थित नहीं हैं।
y-अंतःखंड कभी-कभी ऋणात्मक क्यों आता है? अंतःखंड बस वह जगह है जहाँ स्पर्श रेखा y-अक्ष को काटती है। चूँकि \(b = y - m\cdot x\) होता है, इसलिए मूल बिंदु से दूर किसी बिंदु पर तीव्र ढलान अक्सर अंतःखंड को शून्य से काफी नीचे ले जाती है, जैसा कि ऊपर के उदाहरण में हुआ है।
