這個切線計算機能做什麼
本計算機可求出 \(f(x) = a\cdot x^{n}\) 形式之簡單冪函數，在你指定的某一點上的切線方程式。切線會與曲線在該點剛好相切於一點，且在這個位置與曲線具有相同的斜率。計算結果會提供三項數值：切線的斜率、函數在該點的 y 值，以及切線的 y 截距——讓你能直接寫出 \(y = mx + b\) 形式的直線方程式。
三個輸入欄位
- 係數 (a)——乘在冪次項前面的數字，例如 \(3x^2\) 中的 3。
- 指數 (n)——x 的整數次方，例如 \(3x^2\) 中的 2。
- 切點 x——你想要畫出切線的 x 座標位置。
所使用的公式
函數值以 \(f(x) = a\cdot x^{n}\) 計算。斜率則由微分的冪次法則導出：
- 斜率 (m) = \(f'(x) = a\cdot n\cdot x^{(n-1)}\)
- 函數值 (y) = \(a\cdot x^{n}\)
- y 截距 (b) = \(y - m\cdot x\)
因此切線方程式為 $$y = m\cdot x + b.$$
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實際範例
假設 \(a = 3\)、\(n = 2\)，切點 \(x = 4\)，亦即 \(f(x) = 3x^2\)。
- 函數值：$$y = 3 \times 4^2 = 3 \times 16 = \mathbf{48}$$
- 斜率：$$m = 3 \times 2 \times 4^{(2-1)} = 6 \times 4 = \mathbf{24}$$
- y 截距：$$b = 48 - 24 \times 4 = 48 - 96 = \mathbf{-48}$$
所以在 \(x = 4\) 處的切線為 \(y = 24x - 48\)。
常見問題
它能處理含多個項的函數嗎？不行。本計算機僅適用於 \(a\cdot x^{n}\) 形式的單一冪次項。若是像 \(x^2 + 5x\) 這類含多項的式子，你需要分別計算各項，或改用功能更全面的工具。
如果我輸入負數或分數的切點呢？負的 x 值沒有問題。但指數會被當作整數讀取，因此不支援分數次方（例如平方根）。
為什麼 y 截距有時候會是負數？截距只是切線與 y 軸相交的位置。由於 \(b = y - m\cdot x\)，當切點離原點較遠且斜率較陡時，截距往往會被拉到遠低於零的位置，正如上面的範例所示。
