Qué hace la Calculadora de Recta Tangente
Esta herramienta calcula la ecuación de la recta tangente a una función potencial simple del tipo \(f(x) = a\,x^{n}\) en el punto que elijas. La recta tangente toca la curva en un único punto y comparte con ella la misma pendiente en ese lugar. La calculadora te devuelve tres datos: la pendiente de la recta, el valor que toma la función en tu punto y la ordenada al origen de la tangente. Con eso tienes todo lo necesario para escribir la recta en la forma \(y = mx + b\).
Los tres datos de entrada
- Coeficiente (a): el número que multiplica al término potencial; por ejemplo, el 3 en \(3x^{2}\).
- Exponente (n): la potencia entera a la que se eleva la x; por ejemplo, el 2 en \(3x^{2}\).
- Punto x: la coordenada x donde quieres trazar la recta tangente.
La fórmula que utiliza
El valor de la función se obtiene como \(f(x) = a\,x^{n}\). La pendiente sale de aplicar la regla de la potencia para derivadas:
- Pendiente (m) \(= f'(x) = a\,n\,x^{(n-1)}\)
- Valor de la función (y) \(= a\,x^{n}\)
- Ordenada al origen (b) \(= y - m\,x\)
Así, la ecuación de la recta tangente queda como:
$$y = m\,x + b$$
Ejemplo resuelto
Supongamos que \(a = 3\), \(n = 2\) y el punto \(x = 4\), lo que da la función \(f(x) = 3x^{2}\).
- Valor de la función: $$y = 3 \times 4^{2} = 3 \times 16 = \mathbf{48}$$
- Pendiente: $$m = 3 \times 2 \times 4^{(2-1)} = 6 \times 4 = \mathbf{24}$$
- Ordenada al origen: $$b = 48 - 24 \times 4 = 48 - 96 = \mathbf{-48}$$
Por tanto, la recta tangente en \(x = 4\) es \(y = 24x - 48\).
Preguntas frecuentes
¿Sirve para funciones con más de un término? No. Solo funciona con un único término potencial del tipo \(a\,x^{n}\). Para sumas como \(x^{2} + 5x\) tendrías que calcular cada término por separado o recurrir a una herramienta más general.
¿Qué pasa si introduzco un punto negativo o fraccionario? Los valores negativos de x no son ningún problema. El exponente, en cambio, se interpreta como un número entero, así que las potencias fraccionarias (como las raíces cuadradas) no están soportadas.
¿Por qué a veces la ordenada al origen es negativa? La ordenada al origen es simplemente el punto donde la recta tangente corta el eje y. Como \(b = y - m\,x\), una pendiente pronunciada en un punto alejado del origen suele empujar la ordenada muy por debajo de cero, tal como ocurre en el ejemplo anterior.
