접선 방정식 계산기로 할 수 있는 일
이 계산기는 \(f(x) = a\cdot x^{n}\) 형태의 간단한 거듭제곱 함수에서 원하는 점의 접선 방정식을 구해 줍니다. 접선은 곡선과 정확히 한 점에서 만나면서, 그 지점에서 곡선과 같은 기울기를 갖는 직선입니다. 이 도구는 세 가지 값을 알려 줍니다. 바로 직선의 기울기, 해당 점에서의 함숫값(y), 그리고 접선의 y절편입니다. 이 세 가지만 있으면 \(y = mx + b\) 형태로 접선 식을 바로 쓸 수 있습니다.
입력값 세 가지
- 계수(a) — 거듭제곱 항 앞에 곱해지는 수입니다. 예를 들어 \(3x^{2}\)에서 3에 해당합니다.
- 지수(n) — x가 몇 제곱인지를 나타내는 정수입니다. 예를 들어 \(3x^{2}\)에서 2에 해당합니다.
- 점 x — 접선을 그리고 싶은 위치의 x좌표입니다.
사용하는 공식
함숫값은 \(f(x) = a\cdot x^{n}\)으로 계산합니다. 기울기는 미분의 거듭제곱 법칙(멱법칙)을 이용해 구합니다.
- 기울기(m) = \(f'(x) = a\cdot n\cdot x^{(n-1)}\)
- 함숫값(y) = \(a\cdot x^{n}\)
- y절편(b) = \(y - m\cdot x\)
따라서 접선 방정식은 다음과 같이 됩니다.
$$y = m\cdot x + b$$
예제로 풀어 보기
\(a = 3\), \(n = 2\), 점 \(x = 4\)라고 해 봅시다. 즉 \(f(x) = 3x^{2}\)입니다.
- 함숫값: $$y = 3 \times 4^{2} = 3 \times 16 = \mathbf{48}$$
- 기울기: $$m = 3 \times 2 \times 4^{(2-1)} = 6 \times 4 = \mathbf{24}$$
- y절편: $$b = 48 - 24 \times 4 = 48 - 96 = \mathbf{-48}$$
그러므로 \(x = 4\)에서의 접선은 \(y = 24x - 48\)입니다.
자주 묻는 질문
항이 두 개 이상인 함수도 계산할 수 있나요? 아니요. 이 계산기는 \(a\cdot x^{n}\) 형태의 단일 거듭제곱 항만 다룹니다. \(x^{2} + 5x\)처럼 여러 항이 더해진 식이라면 각 항을 따로 계산하거나, 더 일반적인 도구를 사용해야 합니다.
음수나 분수를 점으로 입력하면 어떻게 되나요? 음수 x값은 문제없이 처리됩니다. 다만 지수는 정수로만 인식하므로, 제곱근처럼 분수 지수가 들어간 경우는 지원하지 않습니다.
y절편이 음수로 나오는 이유는 무엇인가요? y절편은 단순히 접선이 y축과 만나는 지점일 뿐입니다. \(b = y - m\cdot x\)이기 때문에, 원점에서 멀리 떨어진 점에서 기울기가 가파르면 위 예제처럼 절편이 0보다 한참 아래로 내려가는 경우가 많습니다.
