Калькулятор уравнения касательной

Введите расчет

Коэффициент (a):

Показатель степени (n):

Точка x:

Результатов

Функция f(x)	f(x) = 1x^2
Коэффициент (a)	1
Показатель степени (n)	2
Точка x	2
f(x) в точке	4
Угловой коэффициент касательной	4
Пересечение касательной с осью Y	-4
Уравнение касательной	y = 4x - 4

Функция f(x)

Касательная

Точка касания

Касательная соприкасается с графиком функции в единственной точке P(x, f(x)) и показывает наклон функции именно в этой точке.

Что вычисляет калькулятор касательной

Этот калькулятор находит уравнение касательной к простой степенной функции вида \(f(x) = a\cdot x^{n}\) в выбранной точке. Касательная — это прямая, которая соприкасается с кривой ровно в одной точке и имеет в ней такой же наклон, как и сама кривая. Инструмент выдаёт три величины: угловой коэффициент прямой, значение функции в вашей точке и точку пересечения касательной с осью ординат — всё, что нужно, чтобы записать прямую в виде \(y = mx + b\).

Касательная касается кривой в одной точке и имеет в ней такой же наклон.

Три исходных параметра

• Коэффициент (a) — число, на которое умножается степенное слагаемое, например 3 в выражении \(3x^2\).
• Показатель степени (n) — целое число, в которое возводится x, например 2 в выражении \(3x^2\).
• Точка x — абсцисса точки, в которой вы хотите построить касательную.

Какие формулы используются

Значение функции вычисляется как \(f(x) = a\cdot x^{n}\). Угловой коэффициент находится по правилу дифференцирования степенной функции:

• Угловой коэффициент (m) \(= f'(x) = a\cdot n\cdot x^{(n-1)}\)
• Значение функции (y) \(= a\cdot x^{n}\)
• Точка пересечения с осью Y (b) \(= y - m\cdot x\)

Тогда уравнение касательной принимает вид $$y = m\cdot x + b.$$

Реклама

Производная задаёт наклон, а точка касания закрепляет прямую.

Разбор примера

Пусть \(a = 3\), \(n = 2\), а точка \(x = 4\), то есть \(f(x) = 3x^2\).

• Значение функции: $$y = 3 \times 4^2 = 3 \times 16 = \mathbf{48}$$
• Угловой коэффициент: $$m = 3 \times 2 \times 4^{(2-1)} = 6 \times 4 = \mathbf{24}$$
• Точка пересечения с осью Y: $$b = 48 - 24 \times 4 = 48 - 96 = \mathbf{-48}$$

Итак, касательная в точке \(x = 4\) описывается уравнением \(y = 24x - 48\).

Часто задаваемые вопросы

Подходит ли калькулятор для функций из нескольких слагаемых? Нет. Он работает только с одним степенным слагаемым вида \(a\cdot x^{n}\). Для сумм вроде \(x^2 + 5x\) нужно либо считать каждое слагаемое отдельно, либо воспользоваться более универсальным инструментом.

Что будет, если ввести отрицательную или дробную точку? Отрицательные значения x допустимы. А вот показатель степени воспринимается как целое число, поэтому дробные степени (например, корни) не поддерживаются.

Почему точка пересечения с осью Y иногда отрицательная? Эта величина показывает, где касательная пересекает ось ординат. Поскольку \(b = y - m\cdot x\), большой угловой коэффициент в точке, далёкой от начала координат, нередко уводит пересечение далеко в минус — как в примере выше.