この計算ツールでできること
このツールは、\(f(x) = a\cdot x^{n}\) という形の単純なべき関数について、指定した点における接線の方程式を求めます。接線とは、曲線にちょうど1点で接し、その点での曲線の傾きと一致する直線のことです。出力されるのは、接線の傾き・指定した点での関数の y 値・接線の y 切片の3つで、これだけあれば \(y = mx + b\) の形で接線を書き表すことができます。
入力する3つの値
- 係数 (a) — べき項にかかる数。たとえば \(3x^{2}\) の「3」にあたります。
- 指数 (n) — x を何乗するかを表す整数。たとえば \(3x^{2}\) の「2」にあたります。
- 点 x — 接線を引きたい位置の x 座標です。
計算に使う公式
関数の値は \(f(x) = a\cdot x^{n}\) で求めます。傾きは、微分の「べき乗の法則（パワールール）」から導かれます。
- 傾き (m) \(= f'(x) = a\cdot n\cdot x^{(n-1)}\)
- 関数の値 (y) \(= a\cdot x^{n}\)
- y 切片 (b) \(= y - m\cdot x\)
これらから、接線の方程式は $$y = m\cdot x + b$$ となります。
計算例
a = 3、n = 2、点 x = 4 の場合、つまり \(f(x) = 3x^{2}\) を考えてみましょう。
- 関数の値：$$y = 3 \times 4^{2} = 3 \times 16 = \mathbf{48}$$
- 傾き：$$m = 3 \times 2 \times 4^{(2-1)} = 6 \times 4 = \mathbf{24}$$
- y 切片：$$b = 48 - 24 \times 4 = 48 - 96 = \mathbf{-48}$$
よって、x = 4 における接線は \(y = 24x - 48\) となります。
よくある質問
項が2つ以上ある関数も計算できますか？ いいえ。このツールは \(a\cdot x^{n}\) という単項のべき項のみに対応しています。\(x^{2} + 5x\) のような和の形については、各項を別々に計算するか、より汎用的なツールをお使いください。
負の値や分数を点に入力したらどうなりますか？ 負の x 値は問題なく扱えます。ただし指数は整数として読み取られるため、平方根のような分数のべき乗には対応していません。
y 切片がマイナスになることがあるのはなぜですか？ 切片とは、接線が y 軸と交わる位置のことです。\(b = y - m\cdot x\) で計算されるため、原点から離れた点で傾きが大きいと、上の例のように切片が 0 を大きく下回ることがよくあります。
