ما الذي تقوم به حاسبة معادلة المماس
تتيح لك هذه الحاسبة إيجاد معادلة المماس لدالة قوة بسيطة من الشكل \(f(x) = a\cdot x^{n}\) عند نقطة تختارها أنت. والمماس هو الخط المستقيم الذي يلامس المنحنى عند نقطة واحدة فقط ويشترك معه في الميل عند تلك النقطة بالذات. تعطيك الأداة ثلاث نتائج: ميل المماس، وقيمة الدالة y عند نقطتك، والمقطع الصادي للمماس — وهي كل ما تحتاجه لكتابة معادلة الخط على الصورة \(y = mx + b\).
المُدخلات الثلاثة
- المعامل (a) — العدد الذي يُضرب في حد القوة، مثل العدد 3 في المقدار 3س².
- الأس (n) — العدد الصحيح الذي تُرفع إليه x، مثل العدد 2 في المقدار 3س².
- النقطة x — الإحداثي السيني الذي تريد رسم المماس عنده.
القانون المستخدم
تُحسب قيمة الدالة من العلاقة \(f(x) = a\cdot x^{n}\)، أما الميل فيأتي من قاعدة القوة في الاشتقاق:
- الميل (m) \(= f'(x) = a\cdot n\cdot x^{(n-1)}\)
- قيمة الدالة (y) \(= a\cdot x^{n}\)
- المقطع الصادي (b) \(= y - m\cdot x\)
وبذلك تكون معادلة المماس هي \(y = m\cdot x + b\).
مثال محلول
لنفترض أن \(a = 3\) و\(n = 2\) وأن النقطة \(x = 4\)، أي أن \(f(x) = 3س^2\).
- قيمة الدالة: $$y = 3 \times 4^2 = 3 \times 16 = 48$$
- الميل: $$m = 3 \times 2 \times 4^{(2-1)} = 6 \times 4 = 24$$
- المقطع الصادي: $$b = 48 - 24 \times 4 = 48 - 96 = -48$$
وعليه يكون المماس عند \(x = 4\) هو \(y = 24x - 48\).
الأسئلة الشائعة
هل تتعامل الأداة مع الدوال التي تحتوي على أكثر من حد؟ لا. فهي تعمل فقط مع حدود القوة المفردة من الشكل \(a\cdot x^{n}\). أما المجاميع مثل س² + 5س فيلزمك حساب كل حد على حدة أو استخدام أداة أكثر شمولاً.
ماذا لو أدخلتُ نقطة سالبة أو كسرية؟ القيم السالبة لـ x مقبولة تمامًا. لكن الأس يُقرأ على أنه عدد صحيح، لذا فإن القوى الكسرية (مثل الجذور التربيعية) غير مدعومة.
لماذا يكون المقطع الصادي سالبًا أحيانًا؟ المقطع الصادي هو ببساطة الموضع الذي يعبر فيه المماس المحور الصادي. وبما أن \(b = y - m\cdot x\)، فإن الميل الكبير عند نقطة بعيدة عن نقطة الأصل كثيرًا ما يدفع المقطع إلى ما دون الصفر، تمامًا كما في المثال السابق.
