아크사인 계산기란?
아크사인(sin⁻¹ 또는 asin으로도 표기)은 사인 함수의 역함수입니다. 직각삼각형에서 한 각의 사인 값은 그 각의 대변 길이를 빗변 길이로 나눈 값과 같습니다. 이 계산기는 그 관계를 거꾸로 풀어냅니다. 즉, 대변과 빗변 길이를 입력하면 해당 비율을 만드는 각도 \(\theta\)를 돌려줍니다. 결과는 도(°)와 라디안 두 단위로 함께 표시됩니다.
사용 방법
각도를 마주 보는 대변의 길이와 빗변(직각삼각형에서 가장 긴 변)의 길이를 입력하세요. 계산 버튼을 누르면 각도를 확인할 수 있습니다. 비율이 아크사인의 유효 정의역인 \(-1\)과 \(1\) 사이를 벗어나지 않도록, 빗변은 적어도 대변과 같거나 더 길어야 합니다. 만약 대변을 더 크게 입력하면 비율이 \(\pm 1\)로 제한되어 90° 또는 −90°가 출력됩니다.
공식 풀이
핵심 식은 다음과 같습니다.
$$\theta = \arcsin\left(\frac{\text{Opposite}}{\text{Hypotenuse}}\right) \times \frac{180}{\pi}$$
먼저 비율을 계산한 뒤, 역사인 함수가 \(-\pi/2\)에서 \(\pi/2\) 사이의 라디안 각도를 반환합니다. 여기에 \(180/\pi\)를 곱하면 도(°) 단위로 변환됩니다. 아크사인은 입력값이 \([-1, 1]\) 범위일 때만 정의되므로, 이 도구는 범위를 벗어난 비율을 자동으로 막아 줍니다.
계산 예시
대변이 3, 빗변이 5라고 가정해 봅시다. 비율은 \(3 \div 5 = 0.6\)입니다. 그러면 \(\theta = \arcsin(0.6) \approx 0.6435\) 라디안 \(\approx 36.87°\)가 됩니다. 이는 잘 알려진 3-4-5 직각삼각형으로, 길이 3인 변을 마주 보는 각이 약 36.87°입니다.
일반적인 역사인 값
역사인 함수는 -1에서 1 사이의 비율(높이가 아닌 빗변으로 나눈 대변)을 취하여 그 비율과 같은 사인을 갖는 각도를 반환합니다. 빗변은 항상 직각삼각형의 가장 긴 변이므로, 실제 각도에 대한 \(\frac{\text{대변}}{\text{빗변}}\) 비율은 절대 1을 초과하지 않습니다. 아래 표는 자주 접하는 사인 비율과 도 및 라디안 단위로 해당 각도를 나열합니다.
| 사인 비율 (대변 ÷ 빗변) | 각도 (도) | 각도 (라디안) |
|---|---|---|
| 0 | 0° | 0 |
| 0.5 | 30° | \(\pi/6 \approx 0.5236\) |
| 0.6 | 36.87° | \(\approx 0.6435\) |
| 0.707 (≈ \(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\)) | 45° | \(\pi/4 \approx 0.7854\) |
| 0.866 (≈ \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\)) | 60° | \(\pi/3 \approx 1.0472\) |
| 1 | 90° | \(\pi/2 \approx 1.5708\) |
이러한 각도를 도와 라디안 사이에서 변환하려면 도에 \(\pi/180\)을 곱합니다. 예를 들어, \(30° \times \pi/180 = \pi/6 \approx 0.5236\) 라디안입니다.
주요 용어
- 역사인 (sin⁻¹, asin)
- 사인 함수의 역함수입니다. 비율 \(x\)가 주어지면, 역사인은 \(\sin\theta = x\)인 각도 \(\theta\)를 반환합니다. 이는 \(\arcsin(x)\), \(\sin^{-1}(x)\) 또는 \(\operatorname{asin}(x)\)로 쓰입니다. \(\sin^{-1}(x)\)는 역함수를 의미하고, \(1/\sin(x)\)가 아님에 유의하세요.
- 대변
- 직각삼각형에서 관심 있는 각도 바로 맞은편에 있는 변입니다. 이 계산기에 대한 두 개의 입력 중 하나이며 사인 비율의 분자를 형성합니다.
- 빗변
- 직각삼각형의 가장 긴 변으로, 직각의 반대편에 위치합니다. 사인 비율의 분모로 작용하며 항상 대변보다 크거나 같습니다.
- 사인
- 대변의 길이를 빗변으로 나눈 값으로 정의되는 삼각함수 비율: \(\sin\theta = \frac{\text{대변}}{\text{빗변}}\). 역사인은 이 관계를 역으로 나타냅니다.
- 라디안
- 원의 반지름을 기반으로 하는 각도의 측정 단위입니다. 완전한 회전은 \(2\pi\) 라디안(약 6.2832)과 같으며, \(180° = \pi\) 라디안입니다. 라디안은 미적분학과 대부분의 프로그래밍 언어에서 표준 단위입니다.
- 도
- 완전한 회전이 360°와 같은 각도의 측정 단위입니다. 직각은 90°입니다. 도는 일상적인 기하학, 항법 및 측량에서 일반적입니다.
- 역사인의 정의역과 치역
- 역사인의 정의역(허용 입력값)은 \([-1, 1]\)입니다. 이 범위를 벗어난 비율은 실수값 각도가 없습니다. 치역(가능한 출력값)은 \([-90°, 90°]\) 또는 계산기가 반환하는 주요 값 분기인 \([-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}]\) 라디안입니다.
자주 묻는 질문
비율이 왜 −1과 1 사이여야 하나요? 어떤 각의 사인 값도 1을 넘거나 −1보다 작아지지 않습니다. 따라서 그 역함수도 해당 범위의 값만 받을 수 있습니다.
빗변이 대변보다 짧을 수 있나요? 실제 직각삼각형에서는 불가능합니다. 빗변은 언제나 가장 긴 변이기 때문입니다. 그런 값을 입력하면 비율이 \(\pm 1\)로 제한됩니다.
도(°)와 라디안은 어떻게 전환하나요? 두 단위가 자동으로 함께 표시됩니다. 도(°)가 대표 값으로 나타나고, 라디안은 상세 정보 표에서 확인할 수 있습니다.
