캡슐이란?
캡슐(회전 스타디움 또는 회전 디스코렉탱글이라고도 부릅니다)은 원기둥의 양쪽 끝에 반구를 하나씩 붙인 입체 도형입니다. 우리가 흔히 보는 알약, 프로판 가스통, 압력 용기가 바로 이 모양이죠. 이 계산기는 두 가지 값, 즉 반구(와 원기둥)의 반지름 r과 가운데 직선 원기둥 부분의 길이 a만 있으면 캡슐의 부피와 겉넓이를 모두 계산해 줍니다.
계산기 사용 방법
반지름 r과 원기둥 길이 a를 같은 단위(예: 밀리미터, 센티미터, 인치)로 입력하세요. 부피는 세제곱 단위로, 겉넓이는 제곱 단위로 결과가 나옵니다. 한 가지 주의할 점은 a가 가운데 원기둥 부분만의 길이라는 것입니다. 캡슐의 끝에서 끝까지 전체 길이는 \(a + 2r\)이 됩니다.
공식 풀이
캡슐은 원기둥 하나와 반구 두 개(합치면 완전한 구 하나)를 더한 것과 같습니다.
부피: $$V = \pi r^2 a \;(\text{원기둥}) + \tfrac{4}{3}\pi r^3 \;(\text{구}) = \pi r^2 \left(\tfrac{4}{3}r + a\right)$$
겉넓이: $$S = 2\pi r a \;(\text{원기둥 옆면}) + 4\pi r^2 \;(\text{구}) = 2\pi r (2r + a)$$
양쪽 끝의 평평한 원형 면은 반구가 덮고 있기 때문에 넓이 계산에 포함하지 않습니다.
예제로 풀어 보기
r = 5, a = 10이라고 가정해 봅시다. 부피 $$= \pi \cdot 25 \cdot \left(\tfrac{20}{3} + 10\right) = \pi \cdot 25 \cdot 16.6667 \approx 1308.997$$ 세제곱 단위입니다. 겉넓이 $$= 2\pi \cdot 5 \cdot (10 + 10) = 2\pi \cdot 5 \cdot 20 = 200\pi \approx 628.319$$ 제곱 단위가 됩니다.
자주 묻는 질문
a가 전체 길이인가요? 아닙니다. a는 가운데 원기둥 부분만의 길이입니다. 전체 길이 \(= a + 2r\)입니다.
a = 0이면 어떻게 되나요? 캡슐이 완전한 구가 되며, 공식은 \(V = \tfrac{4}{3}\pi r^3\), \(S = 4\pi r^2\)로 단순해집니다.
어떤 단위를 쓰나요? 일관되게 같은 단위를 쓰면 무엇이든 괜찮습니다. 결과는 입력한 단위의 세제곱·제곱 형태로 나옵니다.
