이항계수 계산기

계산 입력

n (전체 개수)

k (선택 개수)

결과

Binomial Coefficient C(4, 4)

1

조합의 수

n (전체 개수)	4
k (선택 개수)	4
읽는 법	"4 choose 4"

이항계수란?

C(n, k) 또는 "n개 중 k개 선택"으로 표기하는 이항계수는, 서로 다른 n개의 원소 중에서 순서에 상관없이 k개를 고르는 경우의 수를 뜻합니다. 조합론과 확률에서 가장 기본이 되는 값으로, 파스칼의 삼각형, 이항정리를 비롯해 수많은 경우의 수 문제에 등장합니다.

이항계수는 순서에 상관없이 n개의 집합에서 k개를 고르는 경우의 수를 셉니다.

계산기 사용법

전체 원소의 개수 n과 고르고자 하는 개수 k를 입력하세요. 계산기가 조합의 수를 정확히 계산해 줍니다. 만약 k가 n보다 크면, 존재하는 것보다 더 많이 고를 수는 없으므로 결과는 0이 됩니다.

공식 설명

기본 정의는 다음과 같습니다.

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,\left(n - k\right)!}$$

팩토리얼은 값이 매우 빠르게 커지기 때문에, 이 계산기는 이와 동일한 곱셈 형태를 사용합니다. 즉 i = 1…min(k, n−k)에 대해 (n−k+i)/i를 차례로 곱합니다. 이렇게 하면 중간 계산값이 작게 유지되어 오버플로를 막으면서도 동일한 정수 결과를 얻을 수 있습니다.

모든 이항계수는 파스칼의 삼각형에 나타나며, 각 값은 위에 있는 두 값의 합입니다.

풀이 예제

카드 5장에서 2장을 뽑는 경우의 수는 몇 가지일까요? $$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,\cdot\,3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = \frac{120}{12} = 10$$으로 계산됩니다. 즉 가능한 조합은 10가지입니다.

파스칼의 삼각형 참조 (작은 n에 대한 C(n,k))

표의 각 항목은 이항 계수 \(\binom{n}{k}\)이며, 각 행 \(n\)이 \(k = 0, 1, \dots, n\)의 값을 나열하도록 배열되어 있습니다. 이는 모든 내부 항목이 그 위 대각선 두 항목의 합과 같은 파스칼의 삼각형을 형성합니다: \(\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}\). 각 행 내에서 \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\)이므로 대칭성이 있습니다.

n \ k	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1
7	1	7	21	35	35	21	7	1
8	1	8	28	56	70	56	28	8	1
9	1	9	36	84	126	126	84	36	9	1
10	1	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1

예를 들어, \(\binom{10}{3} = \) 120이며, 행 10, 열 \(k=3\)에서 찾을 수 있습니다. 행 \(n\)의 모든 항목의 합은 \(2^n\)과 같습니다 (예: 행 4: \(1+4+6+4+1 = 16 = 2^4\)).

더 많은 풀이 예제

다음 예제들은 공식 \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)을 적용하며, 곱셈 단축 공식 \(\binom{n}{k} = \dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\)을 사용하여 거대한 계승이 큰 곱셈 전에 약분되도록 합니다.

예제 1: \(\binom{10}{3}\) — 10개 중 3개 선택하기

\(10!\)의 상위 3개 감소 인수만 \(3!\)로 나눕니다:

$$\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{720}{6} = 120$$

따라서 순서가 중요하지 않을 때 10개 항목 중 3개 항목을 선택하는 방법은 120가지입니다.

예제 2: \(\binom{6}{6}\) — 모두 선택하기

모든 사용 가능한 항목을 선택하는 방법은 정확히 한 가지입니다. \(k = n\)일 때, \((n-k)!\) 항은 \(0! = 1\)이 됩니다:

$$\binom{6}{6} = \frac{6!}{6!\,(6-6)!} = \frac{720}{720 \cdot 1} = 1$$

이는 항등식 \(\binom{n}{n} = \binom{n}{0} = \) 1을 확인합니다.

예제 3: \(\binom{49}{6}\) — 49개 중 6개 로또

49개의 숫자 풀에서 구별되는 순서 없는 6개 번호 티켓의 수는 6개의 가장 큰 감소 인수를 사용하는 곱셈 단축으로 계산됩니다:

$$\binom{49}{6} = \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6!}$$

분자는 \(49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 = 10{,}068{,}347{,}520\)이고, 분모는 \(6! = 720\)입니다:

$$\binom{49}{6} = \frac{10{,}068{,}347{,}520}{720} = 13{,}983{,}816$$

따라서 한 장의 티켓이 6개 번호를 모두 맞힐 확률은 13,983,816분의 1입니다. 대신 순서가 있는 뽑기를 원한다면 순열 \(P(49,6) = \binom{49}{6}\cdot 6!\)을 사용하겠지만, 일반적인 로또에서는 조합만 중요합니다.

자주 묻는 질문

C(n, 0)은 얼마인가요? 항상 1입니다. 아무것도 고르지 않는 방법은 단 한 가지뿐이기 때문입니다.

C(n, k)와 C(n, n−k)는 같나요? 네, 이항계수는 대칭입니다. 남길 k개를 고르는 것과 제외할 n−k개를 고르는 것은 결국 같은 일이기 때문입니다.

조합과 순열은 무엇이 다른가요? 조합은 순서를 따지지 않지만, 순열은 순서를 구분합니다. 순열의 수는 \(\binom{n}{k} \times k!\)로 구합니다.