Калькулятор по модулю (a mod b)

Введите расчет

Делимое (a)

+/-

Модуль / Делитель (b)

+/-

Результатов

Результат (a mod b)

1

соглашение с усечением («%»)

Частное (с усечением)	2
Модуль по полу (знак делителя)	1

5 div 2 = 2 R 1; check 2 x 2 + 1 = 5. So 5 mod 2 = 1.

Что такое операция взятия по модулю?

Операция по модулю, которую записывают как a mod b, возвращает остаток, который остаётся при делении делимого a на модуль (делитель) b. Она встречается буквально повсюду — и в программировании, и в математике: арифметика часов, хеширование, циклический обход списка, проверка делимости и криптография не обходятся без неё. Этот инструмент вычисляет остаток для положительных и отрицательных чисел, а также для дробей и показывает полное пошаговое решение.

17 mod 5 = 2: вычитайте делитель целыми шагами; остаток — это то, что осталось.

Как пользоваться калькулятором

Введите делимое (a) и модуль / делитель (b). Любое из значений может быть отрицательным или дробным — кнопка +/- позволяет быстро поменять знак. Делитель не должен быть равен нулю, потому что деление на ноль не определено. В результате вы увидите остаток, целое частное, дополнительное значение «модуля по полу» (floored) и письменное решение.

Разбор формулы

Калькулятор использует соглашение усечённого деления — то же правило, по которому работает оператор % в C, Java и JavaScript. Сначала частное усекается в сторону нуля: q = trunc(a / b). Затем остаток равен n = a - q*b. Поскольку частное именно усекается, а не округляется вниз, остаток получает знак делимого a. Например, здесь -5 mod 2 = -1, тогда как альтернативное соглашение «по полу» (его мы показываем как дополнительный результат) даёт 1, перенимая знак делителя.

$$\text{a} \bmod \text{b} = \text{a} - \left\lfloor \dfrac{\text{a}}{\text{b}} \right\rceil_{0} \cdot \text{b}$$$$\begin{gathered} r = \text{a} - q \cdot \text{b} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} q &= \operatorname{trunc}\!\left( \dfrac{\text{a}}{\text{b}} \right) \\ \text{b} &\neq 0 \end{aligned} \right. \end{gathered}$$

Реклама

Тождество a = b·q + r лежит в основе результата по модулю r.

Разобранный пример

Для a = 5, b = 2: частное равно \(\operatorname{trunc}(5/2) = \operatorname{trunc}(2{,}5) = 2\), а остаток — \(5 - 2 \times 2 = 1\). Проверка: 5 разделить на 2 = 2 и 1 в остатке, а \(2 \times 2 + 1 = 5\). Значит, \(5 \bmod 2 = 1\). Дробный случай: \(7{,}5 \bmod 2\) даёт \(\operatorname{trunc}(3{,}75) = 3\) и \(7{,}5 - 3 \times 2 = 1{,}5\).

Частые вопросы

Почему -5 mod 2 = -1, а не 1? Этот инструмент следует «программистскому» соглашению с усечением, поэтому остаток совпадает по знаку с делимым. Строка с модулем «по полу» (floored) показывает математический ответ (1), когда вам нужен знак делителя.

Как проверить делимость? Число x кратно b ровно тогда, когда x mod b = 0. Например, \(496 \bmod 4 = 0\) (кратно), а \(226 \bmod 4 = 2\) (не кратно).

Может ли делитель быть нулём? Нет. Деление на ноль не определено, поэтому при b = 0 калькулятор выдаёт ошибку.