Calculateur de modulo (a mod b)

Résultats

Résultat (a mod b)

convention tronquée (« % »)

Quotient (tronqué)	2
Modulo plancher (signe du diviseur)	1

5 div 2 = 2 R 1; check 2 x 2 + 1 = 5. So 5 mod 2 = 1.

Qu'est-ce que l'opération modulo ?

L'opération modulo, notée a mod b, donne le reste obtenu lorsque le dividende a est divisé par le modulo (le diviseur) b. On la retrouve partout en informatique et en mathématiques : arithmétique de l'horloge, fonctions de hachage, parcours cyclique d'une liste, tests de divisibilité ou encore cryptographie reposent sur elle. Cet outil calcule le reste pour les nombres positifs, négatifs et décimaux, et affiche une démonstration détaillée, étape par étape.

Droite numérique montrant 17 divisé en trois sauts de 5 avec un reste de 2 — 17 mod 5 = 2 : soustrayez le diviseur par étapes entières ; ce qui reste est le reste.

Comment l'utiliser

Saisissez le dividende (a) et le modulo / diviseur (b). Chacune des valeurs peut être négative ou décimale : utilisez le bouton +/- pour changer rapidement de signe. Le diviseur ne doit pas être nul, car la division par zéro n'est pas définie. Le résultat affiche le reste, le quotient entier, une valeur de modulo plancher en option, ainsi qu'une démonstration rédigée.

La formule expliquée

Ce calculateur utilise la convention de la division tronquée, la même règle que suit l'opérateur % en C, Java et JavaScript. Le quotient est d'abord tronqué vers zéro :

$$q = \operatorname{trunc}\!\left( \frac{a}{b} \right)$$

Le reste vaut ensuite

$$n = a - q \cdot b$$

Comme le quotient est tronqué plutôt qu'arrondi à l'entier inférieur, le reste prend le signe du dividende a. Par exemple, $-5 \bmod 2 = -1$ ici, tandis que la convention « plancher » (proposée en résultat secondaire) donne $1$, en adoptant cette fois le signe du diviseur.

Schéma de a égale b fois le quotient plus le reste avec un anneau segmenté — L'identité $a = b \cdot q + r$ est à la base du résultat modulo $r$.

Exemple détaillé

Pour $a = 5$ et $b = 2$ : le quotient est $\operatorname{trunc}(5/2) = \operatorname{trunc}(2{,}5) = 2$, et le reste vaut

$$5 - 2 \times 2 = 1$$

Démonstration : $5 \div 2 = 2 \text{ R } 1$, et $2 \times 2 + 1 = 5$. Donc $5 \bmod 2 = 1$. Un cas décimal : $7{,}5 \bmod 2$ donne $\operatorname{trunc}(3{,}75) = 3$ et $7{,}5 - 3 \times 2 = 1{,}5$.

FAQ

Pourquoi $-5 \bmod 2 = -1$ et non $1$ ? Cet outil suit la convention tronquée des langages de programmation, si bien que le reste prend le signe du dividende. La ligne « modulo plancher » affiche le résultat selon la convention mathématique ($1$) lorsque vous avez besoin du signe du diviseur.

Comment tester la divisibilité ? Un nombre $x$ est un multiple de $b$ exactement lorsque $x \bmod b = 0$. Par exemple, $496 \bmod 4 = 0$ (c'est un multiple), mais $226 \bmod 4 = 2$ (ce n'en est pas un).

Le diviseur peut-il être nul ? Non. La division par zéro n'est pas définie ; le calculateur renvoie donc une erreur si $b = 0$.

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