¿Qué es la operación módulo?
La operación módulo, que se escribe a mod b, devuelve el resto que queda al dividir el dividendo a entre el módulo (divisor) b. Está presente por todas partes en la informática y las matemáticas: la aritmética del reloj, las funciones hash, recorrer una lista de forma cíclica, comprobar la divisibilidad y la criptografía dependen de ella. Esta herramienta calcula el resto para números positivos, negativos y decimales, y muestra la demostración completa paso a paso.
Cómo usarla
Introduce el Dividendo (a) y el Módulo / Divisor (b). Cualquiera de los dos valores puede ser negativo o decimal; usa el botón +/- para cambiar el signo rápidamente. El divisor no puede ser cero, ya que dividir entre cero no está definido. El resultado muestra el resto, el cociente entero, un valor opcional de módulo con redondeo hacia abajo (floored) y una demostración escrita.
La fórmula explicada
Esta calculadora utiliza la convención de división truncada, la misma regla que sigue el operador % en C, Java y JavaScript. Primero se trunca el cociente hacia cero: q = trunc(a / b). Después, el resto es n = a - q*b. Como el cociente se trunca en lugar de redondearse hacia abajo, el resto adopta el signo del dividendo a. Por ejemplo, aquí -5 mod 2 = -1, mientras que la convención alternativa de "redondeo hacia abajo" (que se muestra como resultado secundario) da 1, tomando en su lugar el signo del divisor.
$$\text{a} \bmod \text{b} = \text{a} - \left\lfloor \dfrac{\text{a}}{\text{b}} \right\rceil_{0} \cdot \text{b}$$
$$\begin{gathered} r = \text{a} - q \cdot \text{b} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} q &= \operatorname{trunc}\!\left( \dfrac{\text{a}}{\text{b}} \right) \\ \text{b} &\neq 0 \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
Ejemplo resuelto
Para a = 5, b = 2: el cociente es \(\operatorname{trunc}(5/2) = \operatorname{trunc}(2{,}5) = 2\), y el resto es \(5 - 2\times 2 = 1\). Demostración: \(5 \div 2 = 2 \text{ R } 1\), y \(2 \times 2 + 1 = 5\). Por tanto, \(5 \bmod 2 = 1\). Un caso con decimales: \(7{,}5 \bmod 2\) da \(\operatorname{trunc}(3{,}75) = 3\) y \(7{,}5 - 3\times 2 = 1{,}5\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué -5 mod 2 = -1 y no 1? Esta herramienta sigue la convención truncada de los lenguajes de programación, de modo que el resto coincide con el signo del dividendo. La fila de módulo con redondeo hacia abajo muestra la respuesta de la convención matemática (1) cuando necesitas el signo del divisor.
¿Cómo compruebo la divisibilidad? Un número x es múltiplo de b justo cuando \(x \bmod \text{b} = 0\). Por ejemplo, \(496 \bmod 4 = 0\) (es múltiplo), pero \(226 \bmod 4 = 2\) (no lo es).
¿Puede el divisor ser cero? No. La división entre cero no está definida, así que la calculadora devuelve un error si \(\text{b} = 0\).
