मॉड्यूलो कैलकुलेटर (a mod b)

भागफल (ट्रंकेटेड)	2
फ़्लोर्ड मॉड्यूलो (भाजक का चिह्न)	1

मॉड्यूलो ऑपरेशन क्या है?

मॉड्यूलो ऑपरेशन, जिसे a mod b लिखा जाता है, वह शेषफल देता है जो भाज्य a को मॉड्यूलस (भाजक) b से भाग देने पर बचता है। कंप्यूटिंग और गणित में यह हर जगह काम आता है: घड़ी की गिनती (clock arithmetic), हैशिंग, किसी सूची में बार-बार घूमना, विभाज्यता जाँचना और क्रिप्टोग्राफी — ये सब इसी पर टिके हैं। यह टूल धनात्मक संख्याओं, ऋणात्मक संख्याओं और दशमलव — तीनों के लिए शेषफल निकालता है और साथ में चरण-दर-चरण पूरा प्रमाण भी दिखाता है।

संख्या रेखा जिसमें 17 को 5 की तीन छलांगों में बाँटा गया है और शेष 2 है — 17 mod 5 = 2: भाजक को पूरे चरणों में घटाएँ; जो बचता है वही शेषफल है।

इसका उपयोग कैसे करें

भाज्य (a) और मॉड्यूलस / भाजक (b) दर्ज करें। दोनों में से कोई भी मान ऋणात्मक या दशमलव हो सकता है — चिह्न जल्दी से बदलने के लिए +/- बटन का इस्तेमाल करें। भाजक शून्य नहीं होना चाहिए, क्योंकि शून्य से भाग देना अपरिभाषित है। परिणाम में आपको शेषफल, पूर्णांक भागफल, एक वैकल्पिक फ़्लोर्ड-मॉड्यूलो मान और एक लिखित प्रमाण मिलेगा।

सूत्र की व्याख्या

यह कैलकुलेटर ट्रंकेटेड-डिवीज़न (truncated-division) नियम का पालन करता है — वही नियम जिसे C, Java और JavaScript में % ऑपरेटर मानता है। पहले भागफल को शून्य की ओर ट्रंकेट किया जाता है: q = trunc(a / b)। फिर शेषफल होता है n = a - q*b। मॉड्यूलो की सर्वसमिका इस प्रकार है:

$$\text{a} \bmod \text{b} = \text{a} - \left\lfloor \dfrac{\text{a}}{\text{b}} \right\rceil_{0} \cdot \text{b}$$

विस्तार से:

$$\begin{gathered} r = \text{a} - q \cdot \text{b} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} q &= \operatorname{trunc}\!\left( \dfrac{\text{a}}{\text{b}} \right) \\ \text{b} &\neq 0 \end{aligned} \right. \end{gathered}$$

चूँकि भागफल को फ़्लोर करने के बजाय ट्रंकेट किया जाता है, इसलिए शेषफल का चिह्न भाज्य a के चिह्न जैसा होता है। उदाहरण के लिए, यहाँ $-5 \bmod 2 = -1$ आता है, जबकि वैकल्पिक "फ़्लोर्ड" नियम (जो एक दूसरे आउटपुट के रूप में दिखाया जाता है) में $1$ आता है, क्योंकि वह भाजक का चिह्न लेता है।

a बराबर b गुणा भागफल जोड़ शेष का आरेख, खंडित वलय के साथ — सर्वसमिका $\text{a} = \text{b} \cdot q + r$ ही मॉड्यूलो परिणाम $r$ का आधार है।

हल किया गया उदाहरण

मान लें $a = 5$, $b = 2$: भागफल है $\operatorname{trunc}(5/2) = \operatorname{trunc}(2.5) = 2$, और शेषफल है

$$5 - 2 \times 2 = 1$$

प्रमाण: $5 \div 2 = 2$, शेष $1$, और $2 \times 2 + 1 = 5$। यानी $5 \bmod 2 = 1$। अब एक दशमलव उदाहरण: $7.5 \bmod 2$ में $\operatorname{trunc}(3.75) = 3$ और $7.5 - 3 \times 2 = 1.5$।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

-5 mod 2 का जवाब -1 क्यों है, 1 क्यों नहीं? यह टूल प्रोग्रामिंग भाषाओं वाले ट्रंकेटेड नियम का पालन करता है, इसलिए शेषफल का चिह्न भाज्य के चिह्न जैसा होता है। जब आपको भाजक के चिह्न वाला (गणितीय नियम का) जवाब चाहिए, तो फ़्लोर्ड-मॉड्यूलो वाली पंक्ति में वह $(1)$ दिखता है।

विभाज्यता कैसे जाँचूँ? कोई संख्या $x$ तभी $b$ का गुणज है जब $x \bmod b = 0$ हो। उदाहरण के लिए $496 \bmod 4 = 0$ (गुणज है) लेकिन $226 \bmod 4 = 2$ (गुणज नहीं है)।

क्या भाजक शून्य हो सकता है? नहीं। शून्य से भाग देना अपरिभाषित होता है, इसलिए $b = 0$ होने पर कैलकुलेटर एरर दिखाता है।