वन-सैंपल t-टेस्ट क्या है?
वन-सैंपल t-टेस्ट यह जाँचता है कि किसी एक सैंपल का माध्य, किसी ज्ञात या कल्पित जनसंख्या माध्य (\(\mu_0\)) से सार्थक रूप से अलग है या नहीं। इसका उपयोग तब किया जाता है जब जनसंख्या का मानक विचलन ज्ञात न हो और उसका अनुमान सैंपल से ही लगाया जाता है। यह कैलकुलेटर आपको t-सांख्यिकी, स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) और मानक त्रुटि देता है, ताकि आप p-मान देख सकें या उसकी गणना कर सकें।
इसका उपयोग कैसे करें
चार मान भरें: सैंपल माध्य (\(\bar{x}\)), कल्पित जनसंख्या माध्य (\(\mu_0\)), सैंपल मानक विचलन (\(s\)), और सैंपल आकार (\(n\))। टेस्ट सांख्यिकी पाने के लिए "गणना करें" पर क्लिक करें। प्राप्त t-मान की तुलना अपने चुने हुए सार्थकता स्तर और स्वतंत्रता की कोटि पर t-वितरण तालिका के क्रांतिक मान (critical value) से करें, या उसे p-मान में बदल लें।
सूत्र की व्याख्या
सांख्यिकी इस प्रकार है: $$t = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{s \big/ \sqrt{n}}$$ अंश (numerator) यह दर्शाता है कि देखा गया माध्य कल्पित मान से कितनी दूर है। हर (denominator), \(s / \sqrt{n}\), माध्य की मानक त्रुटि है — यानी उस आकार के सैंपल के लिए जिस सामान्य प्रतिचयन परिवर्तनशीलता की आप अपेक्षा करेंगे। एक को दूसरे से भाग देने पर यह अंतर मानक-त्रुटि की इकाइयों में व्यक्त होता है। स्वतंत्रता की कोटि \(n - 1\) के बराबर होती है।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए \(\bar{x} = 5.2\), \(\mu_0 = 5.0\), \(s = 1.0\), \(n = 25\) है। मानक त्रुटि $$= 1.0 / \sqrt{25} = 1.0 / 5 = 0.2$$ होगी। तब $$t = (5.2 - 5.0) / 0.2 = 0.2 / 0.2 = 1.0,$$ और \(df = 24\)। 24 df के साथ 1.0 का t-मान, दो-पुच्छीय (two-tailed) 5% क्रांतिक मान (\(\approx 2.064\)) से काफी कम है, इसलिए आप शून्य परिकल्पना (null hypothesis) को अस्वीकार नहीं करेंगे।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
मुझे टू-सैंपल के बजाय वन-सैंपल टेस्ट कब इस्तेमाल करना चाहिए? जब आप किसी एक समूह के माध्य की तुलना किसी निश्चित संदर्भ मान से कर रहे हों तो वन-सैंपल का उपयोग करें; जब दो स्वतंत्र समूहों के माध्यों की तुलना करनी हो तो टू-सैंपल का उपयोग करें।
मुझे कितने सैंपल आकार की आवश्यकता है? तकनीकी रूप से यह टेस्ट \(n \geq 2\) पर काम करता है, लेकिन यह मानकर चलता है कि डेटा लगभग सामान्य (normal) है; छोटे सैंपल इस मान्यता के प्रति अधिक संवेदनशील होते हैं।
मैं p-मान कैसे प्राप्त करूँ? t-मान का निरपेक्ष मान और df लेकर t-वितरण तालिका या सांख्यिकीय सॉफ़्टवेयर का उपयोग करें; दो-पुच्छीय टेस्ट के लिए ऊपरी-पुच्छ प्रायिकता को दोगुना कर दें।
