30-60-90 üçgeni nedir?
30-60-90 üçgeni, iç açıları tam olarak 30°, 60° ve 90° olan özel bir dik üçgendir. Açılar sabit olduğu için üç kenar her zaman aynı oranı korur. 30° açının karşısındaki kısa dik kenarın uzunluğu x ise, 60°’nin karşısındaki uzun dik kenar \(x\sqrt{3}\), 90°’nin karşısındaki hipotenüs ise \(2x\) olur. Bu \(1 : \sqrt{3} : 2\) oranı sayesinde tek bir kenarı bilerek tüm üçgeni çözebilirsiniz.
Hesaplama aracı nasıl kullanılır?
Önce elinizdeki kenarı seçin — kısa dik kenar, uzun dik kenar ya da hipotenüs — ve uzunluğunu girin. Araç önce kısa dik kenar \(x\)’i bulur, ardından diğer tüm ölçüleri hesaplar: kalan kenarlar, alan ve çevre. Birim olarak hangisini kullanırsanız kullanın (cm, m, inç, fit), tutarlı kaldığınız sürece her pozitif sayıyla çalışır.
Formülün açıklaması
Her şey kısa dik kenar \(x\)’e dayanır. Uzun dik kenar biliniyorsa \(x = \text{uzun} \div \sqrt{3}\); hipotenüs biliniyorsa \(x = \text{hipotenüs} \div 2\). Buradan kenar oranı şu şekildedir:
$$\text{kısa} : \text{uzun} : \text{hipotenüs} = x : x\sqrt{3} : 2x$$Böylece uzun dik kenar = \(x\sqrt{3}\), hipotenüs = \(2x\), alan = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\,x^2\) ve çevre = \(x + x\sqrt{3} + 2x = x(3 + \sqrt{3})\) olur.
Örnek çözüm
Kısa dik kenarın 5 olduğunu varsayalım. O zaman:
$$\text{uzun} = 5 \times \sqrt{3} \approx 8{,}66$$$$\text{hipotenüs} = 2 \times 5 = 10$$$$A = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 5^2 \approx 21{,}65$$$$\text{çevre} \approx 5 + 8{,}66 + 10 = 23{,}66$$30-60-90 Açı Oranları Referans Tablosu
Her 30-60-90 dik üçgende üç kenar sabit \(1 : \sqrt{3} : 2\) oranını tutarlar. Kısa kenar (30° açının karşısında) \(a\) ise, uzun kenar (60°'nin karşısında) \(a\sqrt{3}\) ve hipotenüs (90° açının karşısında) \(2a\)'dir. Alan \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}a^{2}\) ve çevre \(a(3+\sqrt{3})\)'dir. Aşağıdaki tablo birkaç yaygın kısa kenar uzunluğu için tam ve yaklaşık değerleri (\(\sqrt{3}\approx1.732\) kullanarak) listeler.
| Kısa kenar \(a\) | Uzun kenar \(a\sqrt{3}\) | Hipotenüs \(2a\) | Alan \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}a^{2}\) | Çevre \(a(3+\sqrt{3})\) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | \(\sqrt{3}\approx1.732\) | 2 | \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0.866\) | \(3+\sqrt{3}\approx4.732\) |
| 2 | \(2\sqrt{3}\approx3.464\) | 4 | \(2\sqrt{3}\approx3.464\) | \(\approx9.464\) |
| 5 | \(5\sqrt{3}\approx\) 8.660 | 10 | \(\tfrac{25\sqrt{3}}{2}\approx21.651\) | \(\approx23.660\) |
| 10 | \(10\sqrt{3}\approx17.321\) | 20 | \(50\sqrt{3}\approx86.603\) | \(\approx47.321\) |
Her satır doğrusal olarak ölçeklendirilir: kısa kenarı iki katına çıkarmak her kenarı ve çevreyi iki katına çıkarır, ancak alanı dört katına çıkarır (\(\text{alan}\) \(a^{2}\)'ye bağlı olduğu için).
Sıkça Sorulan Sorular
Kısa dik kenar hangisidir? Kısa dik kenar her zaman en küçük açının, yani 30°’nin karşısındaki kenardır. Üç kenarın en kısasıdır.
Hipotenüsü girebilir miyim? Evet. Menüden “Hipotenüs” seçeneğini işaretleyin; araç bu değeri 2’ye bölerek kısa dik kenarı bulur ve üçgeni yeniden oluşturur.
Uzun dik kenar, kısa dik kenarın iki katı mıdır? Hayır — bu sık yapılan bir hatadır. Kısa dik kenarın iki katı olan hipotenüstür; uzun dik kenar ise kısa dik kenarın \(\sqrt{3}\) (≈1,732) katıdır.
